2009屆高考數學第三輪復習精編模擬六
參考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件相互獨立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件
在一次試驗中發生的概率是
，那么
次獨立重復試驗中事件恰好發生
次的概率
其中表示球的半徑
第一部分 選擇題（共50分）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1、復數-i的一個立方根是i，它的另外兩個立方根是…………………………（ ）
A）
±
B）-± C）±+ D）±-
2、不等式組
的解集為 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．
B
C．
D．
3、
的三邊
滿足等式
，則此三角形必是（）
A、以
為斜邊的直角三角形 B、以
為斜邊的直角三角形
C、等邊三角形 D、其它三角形
4、若函數
，滿足對任意的
、
，當
時，
，則實數的取值范圍為（ ）
A、
B、
C、
D、
5、設
、
是方程
的兩根，且
，則
的值為： �。� ）
A、
B、
C、
D、
6、過曲線
上一點
的切線方程為（ ）
A、
B、
C、
D、
7、如圖，在多面體ABCDFE中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=
，EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為： �。� ）
A、
B、
8、如果n是正偶數，則C
＋C
＋…＋C
＋C
＝（
）
（A） 2
（B） 2
（C） 2
（D） (n－1)2
9、等比的正數數列{
}中，若
，則
=（ ）
(A) 12, (B) 10, (C) 8, (D)2+
10、雙曲線b2x2－a2y2=a2b2
(a>b>0)的漸近線夾角為α，離心率為e,則cos
等于（ ）
A．e B．e
D．
第二部分 非選擇題（共100分）
二、填空題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．每小題5分，滿分20分．
11、已知函數
，那么
+
。
12、如圖是一個邊長為4的正方形及其內切圓，若隨機向正方形內丟一粒豆子，則豆子落入圓內的概率是________．
13、過拋物線
的焦點F作一直線交拋物線交于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長分別為p、q，則
。
14、(坐標系與參數方程選做題) 在直角坐標系中圓
的參數方程為
（
為參數），則圓的普通方程為__________，以原點
為極點，以
軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓的圓心極坐標為_________．
15．(幾何證明選講選做題) 如圖，
是
的切線，切點為
，直線
與交于
、
兩點，
的平分線分別交直線
、
于
、
兩點，已知
，
，則
，
．
三．解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
記函數
，
,它們定義域的交集為
,若對任意的
,
，則稱
是集合
的元素.
（1）判斷函數
是否是的元素；
（2）設函數
，求的反函數
，并判斷是否是的元素；
17．（本小題滿分12分）
已知拋物線
與直線
相切于點
．
（Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）若對任意
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
18．（本小題滿分14分）
如圖組合體中，三棱柱
的側面
是圓柱的軸截面，是圓柱底面圓周上不與
、
重合一個點.
（Ⅰ）求證：無論點如何運動，平面
平面
；
（Ⅱ）當點是弧
的中點時，求四棱錐
與圓柱的體積比．
19．（本小題滿分14分）
已知數列
滿足：
且對任意的
有
.
(Ⅰ)求數列的通項公式；
（Ⅱ）是否存在等差數列
，使得對任意的
有
成立？證明你的結論
20．（本小題滿分14分）
如圖，在直角坐標系
中，已知橢圓
的離心率e＝
，左右兩個焦分別為
．過右焦點
且與
軸垂直的
直線與橢圓
相交M、N兩點，且|MN|=1．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 設橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足
，
（
）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上. 
21．（本小題滿分14分）
已知二次函數
.
（1）若
，試判斷函數
零點個數；
(2)若對
且
，
，試證明
，使
成立。
(3)是否存在
，使同時滿足以下條件①對
，且
；②對
,都有
。若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。
一．選擇題：DCDDA DDBBC
解析：1：復數i的一個輻角為900，利用立方根的幾何意義知，另兩個立方根的輻角分別是900+1200與900+2400，即2100與3300，故虛部都小于0，答案為（D）。
2：把x=3代入不等式組驗算得x=3是不等式組的解，則排除(A)、(B), 再把x=2代入不等式組驗算得x=2是不等式組的解，則排除(D)，所以選(C).
3：在題設條件中的等式是關于
與
的對稱式，因此選項在A、B為等價命題都被淘汰，若選項C正確，則有
，即
，從而C被淘汰，故選D。
4：“對任意的x1、x2，當
時，
”實質上就是“函數單調遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“
有意義”。事實上由于
在
時遞減，從而
由此得a的取值范圍為
。故選D。
5：由韋達定理知
.從而
，故
故選A。
6：當點A為切點時，所求的切線方程為
，當A點不是切點時，所求的切線方程為
故選D。
7：由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2， ∴VF－ABCD＝
?32?2＝6，而該多面體的體積必大于6，故選（D）.
8：由二項展開式系數的性質有C
＋C
＋…＋C
＋C
＝2
，選B.
9：取特殊數列
=3，則
=
=10，選(B).
10：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個關系式，故可用特殊方程來考察。取雙曲線方程為
－
=1，易得離心率e=
,cos
=
，故選C。
二．填空題：11、
； 12、
；13、
；14、
，
；15、
，
；
解析：11：因為
（定值），于是
，
，
，又
， 故原式=。
12：因為正方形的面積是16，內切圓的面積是
，所以豆子落入圓內的概率是
．
13：設k = 0，因拋物線焦點坐標為
把直線方程
代入拋物線方程得
，∴
，從而
。
14.（略）
15.（略）
三．解答題：
16．解：（1）∵對任意
，
，∴
--2分
∵
不恒等于
，∴
--------------------------4分
（2）設
①
時，由
解得：
由 解得其反函數為 ，
-----------------7分
②
時，由 解得：
解得函數的反函數為，
--------------------9分
∵
∴
------------------------------------------------------------------12分
１7．解：（Ⅰ）依題意，有
，
．
因此，
的解析式為
； …………………6分
（Ⅱ）由
（
）得
（），解之得
（）
由此可得
且
，
所以實數
的取值范圍是
． …………………12分
18.（I）因為側面
是圓柱的的軸截面，
是圓柱底面圓周上不與、
重合一個點，所以
…………………2分
又圓柱母線
^平面
，
Ì平面，所以^，
又
，所以^平面
，
因為Ì平面
，所以平面
平面；…………………………………6分
（II）設圓柱的底面半徑為
，母線長度為
，
當點是弧
的中點時，三角形的面積為
，
三棱柱
的體積為
，三棱錐
的體積為
，
四棱錐
的體積為
，………………………………………10分
圓柱的體積為
，
………………………………………………12分
四棱錐與圓柱的體積比為
.……………………………………………14分
19.(Ⅰ)解：∵
∴
∴數列
是首項為（
），公比為2的等比數列，………………4分
，
，∴數列
是首項為1，公差為1的等差數列
，∴
…
…………………7分
（Ⅱ）令
代入
得：
解得:
由此可猜想
，即
…………………10分
下面用數學歸納法證明：
（1）當n＝1時，等式左邊＝1，右邊＝
,
當n＝1時，等式成立，
（2）假設當n＝k時，等式成立，即
當n＝k＋1時
∴當n＝k＋1時，等式成立，
綜上所述，存在等差數列，使得對任意的
有成立。
…………………14分
20.解：(Ⅰ)∵
軸，∴
,由橢圓的定義得：
， ……………2分
∵
，∴
，
又
得
∴
………………4分
∴
，∴所求橢圓C的方程為
． …………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知點A(－2,0)，點B為（0，－1），設點P的坐標為
則
，
, 由
－4得－
，
∴點P的軌跡方程為
…………………8分
設點B關于P的軌跡的對稱點為
，則由軸對稱的性質可得：
，
解得：
，…………………10分
∵點在橢圓上，
∴ 
，
整理得
解得
或 
…………………12分
∴點P的軌跡方程為
或
，經檢驗和都符合題設，
∴滿足條件的點P的軌跡方程為或．…………………14分
21.解（1） 
…………………1分
，
當
時
，函數
有一個零點；
當
時，
，函數有兩個零點�！�3分
（2）令
，則
，…………………5分
在
內必有一個實根。即
，使
成立�！�8分
（3）
假設
存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，且
∴
………………10分
由②知對
,都有
令
得
由
得
， …………………12分
當時，
，其頂點為（－1，0）滿足條件①，又
對,都有，滿足條件②。
∴存在
，使同時滿足條件①、②。 …………………14分
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