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陜西省西安鐵一中2009屆高三12月月考
數學試題
（滿分100分 60分鐘）
一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（本大題共6小題，每小題7分，共42分）
試題詳情
2．如圖，正三棱柱ABC―A1B1C1中，AB=AA1， 則AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值為
（ ）
A． B． C． D．
3．已知△ABC的三個頂點A、B、C及平面內一點P滿足：，若實數滿足：，則的值為 （ ）
A．2 B． C．3 D．6
4．中，若，則為 （ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
5． 若函數有3個不同的零點，則實數的取值范圍是 （ ）
A． B. C. D.
6．若不等式對于任意正整數n恒成立，則實數a的取值范圍是 （ ）
二．填空題：把答案填在答題卡相應題號后的橫線上（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
7．已知函數，則= .
8. 某校高三級有三位數學老師，為便于學生詢問，從星期一到星期五每天都安排數學教師值班，并且星期一安排兩位老師值班，若每位老師每周值班兩天，則一周內安排值班的方案有 種.
9.點是橢圓（上的任意一點，是橢圓的兩個焦點，且∠，則該橢圓的離心率的取值范圍是 .
三．解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（本大題共3小題，共43分）
10．（本小題滿分14分）
已知各項都不相等的等差數列的前六項和為60，且的等比中項.
（I）求數列的通項公式；
（II）若數列的前n項和Tn .
11. (本小題滿分14分)
如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，M為BC的中點
(Ⅰ)證明：AM⊥PM ；
(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；
(Ⅲ)求點D到平面AMP的距離
12．（本小題滿分15分）
如圖，在直角坐標系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1 ．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 設橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，（）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上.
一. 選擇題（本大題共6小題，每小題7分，共42分）
題號
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
A
二. 填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
7. 0 8. 36 9.
解：（I）設等差數列的公差為，則
…………2分
解得 …………4分
. …………5分
…………7分
（II）由
…………10分
…………12分
…………14分
11．（本小題滿分14分）
解法1：(Ⅰ) 取CD的中點E，連結PE、EM、EA.
∵△PCD為正三角形，∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD （2分）
∵四邊形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形
由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3
∴ （4分）
，又在平面ABCD上射影：
∴∠AME=90°， ∴AM⊥PM （6分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角 （8分）
∴tan ∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P－AM－D為45°； （10分）
(Ⅲ)設D點到平面PAM的距離為，連結DM，則
， ∴
而 （12分）
在中，由勾股定理可求得PM=
,所以：∴
即點D到平面PAM的距離為 （14分）
解法2：(Ⅰ) 以D點為原點，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,
依題意，可得
……2分
∴
（4分）
即,∴AM⊥PM （6分）
(Ⅱ)設，且平面PAM，則
即
∴ ，
取，得 （8分）
取，顯然平面ABCD， ∴
結合圖形可知，二面角P－AM－D為45°； （10分）
(Ⅲ) 設點D到平面PAM的距離為，由(Ⅱ)可知與平面PAM垂直，則
=
解：(Ⅰ)∵軸，∴,由橢圓的定義得： （2分）
∵，∴， （4分）
又得 ∴
∴， （6分）
∴所求橢圓C的方程為． （7分）
(Ⅱ)由（Ⅰ）知點A(－2,0)，點B為（0，－1），設點P的坐標為
則，,
由－4得－，
∴點P的軌跡方程為. （9分）
設點B關于P的軌跡的對稱點為，則由軸對稱的性質可得：
，解得：， （12分）
∵點在橢圓上，∴ ，
整理得解得或
∴點P的軌跡方程為或， （14分）
經檢驗和都符合題設，
∴滿足條件的點P的軌跡方程為或． （15分）
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B．
C． 
D．
，若實數
滿足：
，則
C．3 D．6
中，若
，則
有3個不同的零點，則實數
的取值范圍是
（ ）
B. 
C. 
D. 
對于任意正整數n恒成立，則實數a的取值范圍是 （ ）
B．
C．
D．
，則
=
.
是橢圓
（
上的任意一點，
是橢圓的兩個焦點，且∠
，則該橢圓的離心率的取值范圍是
. 
的前六項和為60，且
的等比中項. 
；
的前n項和Tn . 
如圖，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝
，M為BC的中點
中，已知橢圓
的離心率e＝
，左右兩個焦分別為
．過右焦點
且與
軸垂直的直線與橢圓
相交M、N兩點，且|MN|=1 ．
(Ⅱ) 設橢圓
，（
）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓
的公差為
，則
…………2分
…………4分
. …………5分
…………7分
…………10分
…………12分
…………14分
，AE=3
（4分）
，又
在平面ABCD上射影：
， ∴
（12分）
中，由勾股定理可求得PM=
,所以：
∴
,
……2分
（4分）
,∴AM⊥PM
，且
平面PAM，則
即
， 
，得
（8分）
，顯然
平面ABCD， ∴
=
軸，∴
,由橢圓的定義得：
（2分）
，∴
，
（4分）
得
∴
，
（6分）
．
（7分）
，
,
－4得－
，
.
（9分）
，則由軸對稱的性質可得：
，解得：
，
（12分）
，
解得
或
或
，
（14分）