梅縣華僑中學高二第二學期中段考試
數學試題 （理科） 2009-4
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
(1) 
比
大
(2)兩個復數互為共軛復數,當且僅當其和為實數
(3) 
的充要條件為
(4)如果讓實數
與
對應，那么實數集與純虛數集一一對應，
其中正確的命題個數是（ ）
A． B．
C．
D．
2．
的虛部為( )
A．
B．
C．
D．
3．使復數為實數的充分而不必要條件是由 ( )
A．
B．
C．
為實數 
D．
為實數
4．設
則
的關系是( )
A．
B．
C．
D．無法確定
5．
的值是( )
A． 
B． 
C． D．
6．已知
集合
的元素個數是( )
A. B. C. 
D. 無數個
7．若復數
滿足
,則
的值等于( )
A． B． C．
D．
8．已知
,那么復數在平面內對應的點位于( )
A．第一象限 B． 第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．若
,則等于
( )
A． B． C．
D．
10．給出下列命題
(1)實數的共軛復數一定是實數;
(2)滿足
的復數的軌跡是橢圓;
(3)若
,則
其中正確命題的序號是( )
A.
B.
C.
D. 
二、填空題（每小題5分， 4題共20分）。
11.
若復數
是純虛數,則= .
12.
已知
則
= .
13.
若
,那么
的值是
.
14.
計算
.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
15．（本題 13 分）
設復數滿足
,且
是純虛數,求
.
16．（本題 13 分）
計算下列定積分的值
（1）
；（2）
；
（3）
；（4）
；
17．（本題 13 分）已知復數滿足: 
求
的值.
18．（本題 13 分）
用數學歸納法證明：
能被9整除
19．（本題 14 分）
求曲線
與
軸所圍成的圖形的面積．
20．（本題 14 分）
設y=f（x）是二次函數,方程f（x）=0有兩個相等的實根，且
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積.
（3）若直線x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.
梅縣華僑中學高二第二學期中段考試
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
ADBAC BCABC
※1．A (1) 
比
大，實數與虛數不能比較大小；（2）兩個復數互為共軛復數時其和為實數，但是兩個復數的和為實數不一定是共軛復數；
（3）
的充要條件為
是錯誤的，因為沒有表明
是否是實數；
（4）當
時，沒有純虛數和它對應
※2．D 
，虛部為
※3．B 
；
，反之不行，例如
；
為實數不能推出
，例如
；對于任何
，
都是實數
※4．A 
※5．C 
※6．B 
※7．C
，
※8．A
※9．B
※10．C
二、填空題（每小題5分， 4題共20分）。
※11．
※12．
※13．
※14．
記
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
15（本題 13 分）
解：設
，由
得
；
是純虛數，則
，
16．（本題 13 分）
1）
（2）
（3）
（4）
17（本題 13 分）
解：設，而
即
則
18．（本題 13 分）
略
19．（本題 14 分）
解：首先求出函數
的零點：
，
，
.又易判斷出在
內，圖形在
軸下方，在
內，圖形在軸上方，
所以所求面積為
20．（本題 14 分）
解：（1）設f（x）=ax2+bx+c，則f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有兩個相等實根，
∴判別式Δ=4－4c=0，即c=1.
故f（x）=x2+2x+1.
（2）依題意，有所求面積=
.
（3）依題意，有
，
∴
，－
t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，
∴2（t－1）3=－1，于是t=1－
.
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