2008西北工大自主招生高考測試數學試題
（考試時間：120分鐘，滿分150分）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）：
1．（理）若復數z滿足
，則z對應的點位于
( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
（文）若
，則
是
的（ ）
A、充分而不必要條件 B、必要而不充分條件
C、充要條件 D、既不充分也不必要條件
2．設集合
，
，則
A. 
B. 
C. 
D. 
3．將
名實習老師分配到高一年級的
個班級實習，每班至少
名，則不同的分配方案有（
）
A．6種 B．12種 C．24種 D．36種
4．定義在R上的函數f(x)滿足f(x+2)=f(x)，
當x∈［1，3］,f(x)=2－|x－2|, 則下列結論中正確的是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知函數f(x)=
，若函數y=g(x)的圖象與函數
的圖象關于直線y=x對稱，則g(3)的值為(
)
Ａ. 2 Ｂ. 3 Ｃ. 4 Ｄ. 7
6．Ｍ為△ABC內一點，且
，則△ABM與△ABC的面積之比為(
)
Ａ. 
Ｂ. 
Ｃ. 
Ｄ. 
7．平面內有一長度為6的線段AB，動點P滿足|PA|+|PB|=10，則|PA|的取值范圍為( )
Ａ.［1，3］ Ｂ.［2，8］ Ｃ.［6，8］ Ｄ.［3，5］
8．在等差數列{an}中，前n項和
，前m項和
，則
的值（ ）
A．大于4 B．等于
9．在正三棱柱
中，若
，則
與
所成角的大小為（
）
Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
10．（理）定義在R上的連續函數f(x)，若x≠0時，f(x)=
，則f(0)=( )
Ａ.2
Ｂ.
Ｃ.1
Ｄ.
（文）已知函數
是常數）過點
，則
的值域為（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 如果直線
與圓
交于M、N兩點，且M、N關于直線
對稱，動點Ｐ（ａ，ｂ）在不等式組
表示的平面區域內部及邊界上運動，則點Ａ（１，２）與點Ｐ連線的斜率取值范圍是（
）
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
12．（理）長為5,寬為4,高為3的長方體密閉容器內有一半徑為1的小球，小球可在容器里任意運動，則容器內小球不能到達的空間的體積為( )
Ａ.
B. 
C.
D.
（文）半徑為
的一個圓在一個長為7，寬為5的長方形（
）內任意滾動，則該圓滾不到的平面區域的面積為（ ）
A.
B. 
C.
D. 
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）：
13．已知
的展開式中含
項的系數為30，則正實數
的值為 ．
14．等腰直角三角形的直角頂點A
，重心
，則三角形另兩個頂點B、C的坐標為
．
15．若
, 
、
、
、
則把
、
、、從小到大的排列順序是 ．
16．已知函數f(x)滿足：
,
則：
=
．
三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）：
17．（本題滿分12分）已知函數f(x)=
+4sinxcosx
（Ⅰ）求f(x)的周期；
（Ⅱ）求f(x)的最小值及相應的x集合.
18．（本題滿分12分）甲、乙兩人先后擲一枚均勻的正方體骰子（其六個面分別標有點數1,2,3,4,5,6），甲擲后朝上的面的點數記為a，乙擲后朝上的面的點數記為b.
（Ⅰ）求a與b中至少一個是6的概率;
（Ⅱ）求使
的值為整數的概率.
19．（本題滿分12分）
如圖,在三棱錐A-BCD中，∠BCD＝90°,BC=CD=AB=1，AB⊥面BCD，Ｅ為AC中點，F在線段AD上，
=λ.
（Ⅰ）當λ為何值時，面BEF⊥面ACB，并證明；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角E-CF-B的大小.
20、（本題滿分12分）
（理）已知函數
（Ⅰ）求f(x) 的單調區間;
（Ⅱ）函數
(x>0)，求證a=1時的f(x)圖象不在g(x)圖象的上方.
（文）已知函數
處取得極值
（1）求函數
的解析式；
（2）若
為圖象上的點，直線
與的圖象切于P點，直線的斜率為
，求函數
的最小值.
21、（本題滿分12分），頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線，其內接△ABC的重心為拋物線焦點，若直線BC方程為x－4y－20=0
（Ⅰ）求拋物線方程;
（Ⅱ）設M為拋物線上及其內部的點的集合，
,求使M∩N＝Ｎ成立的充要條件.
22．（本題滿分14分）如圖，曲線
上的點
與
軸正半軸上的點
及原點O構成一系列正三角形
（記
為0），記
（Ⅰ）求
的值
（Ⅱ）求數列
的通項公式
（Ⅲ）求證：當
時，
一、選擇題（每題5分，共60分）：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
理D
文A
B
D
D
B
A
B
A
C
理D
文A
D
A
二、填空題（每題4分，共16分）：
13．1 14．
15．
； 16． 24。
三、解答題（本大題共6小題，共74分）：
17解：sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx=2sinxcos
x+(1-2sinx)sinx=3sinx-4sinx
∴f(x)=3-4sinx+2sin2x=3-2(1-cos2x)+2sin2x
=1+2
sin(2x+
)（x≠kπ k∈Z) ……(6分）
（１）f(x)的周期T=
………………（8分）
（２）當sin(2x+)= -1
x= 
+kπ (k∈Z)時，f(x)
=1-2…………（10分）
此時x的集合為{x|x= +kπ，k∈Z）………………（12分）
18、解：（１）P=1－
＝
……（4分）
（２）要使
值為整數 當a=1時，（a,b)=(1,1),(1,2),(1,4)
當a=2時，（a,b)=(2,1),(2,4) 當a=3時，（a,b)=(3,1),(3,6)
a=4,5,6時，（a,b)分別為（4,1）（5,１）（6,１） 共10種 ……（10分）
故所求概率為P=
=
……………………（12分）
19、（１）當λ＝
時，面BEF⊥面ACD
…（2分）
證明如下：
=
= 
EF∥CD
CD⊥面ABC ,又CD∥EF
∴
面BEF⊥面ACB
……………
（6分）
（２）作EO⊥CF于O，連BO
∵
BE⊥面EFC
∴EO為BO在面EFC內射影∴BO⊥CF
∴∠EOB為二面角E－CF－B的平面角…………（8分）
在RtΔEFC中EO?CF＝EC?EF
EO?
=
?
EO=
在Rt△BOE中，BE=
EO=………………（10分）
∴
∠EOB=
=
∴ ∠EOB=60°故二面角E-CF-B的大小為60°（12分）
20、解（１）f
'(x)=
+x (x>0)
若a≥0，則f ' (x)>0 f(x)在（0,＋∞）遞增………（2分）
若a<0，令f ' (x)=0 x =±
f ' (x)=
>0, 又x>0x∈(，+∞）
f ' (x)<0 x∈(0，）
∴f(x)的遞增區間為（，+∞），遞減區間為（0,）……（6分）
（２）令φ(x)=f(x)-g(x)= lnx+
+
(x>0)
則φ ' (x)= 
+x
=
=
令φ ' (x)=0 x=1………………………………（8分）
當0<x<1時，φ ' (x)>0φ (x)遞增 當x>1時，φ ' (x)<0 φ (x)遞減
∴x=1時φ (x)
=-
+=0……………………（10分）
∴φ (x)≤0 即f (x)≤g(x) ∴a=1時的f(x)圖象不在g(x)圖象上方………（12分）
22．解：（(1) 可設
, 得
= tan
=
= 
(2) 設
, 得直線
的方程為
方程 
= -
所以
所以有
由
得
所以
=(
(3) 證明：當
時,
左邊=
=
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