試卷類型：A
2009年廣東省廣州市普通高中畢業班綜合測試（二）
數 學（理科）
2009.４
本試卷共4頁，21小題， 滿分150分。 考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用2B鉛筆在“考生號”處填涂考生號，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區、學校，以及自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題（或題組號）對應的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。
5．考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。
參考公式：錐體的體積公式
，
其中
是錐體的底面積，
是錐體的高．
球的表面積公式
，其中
為球的半徑．
如果事件
、
互斥，那么
．
如果事件在一次試驗中發生的概率是
，那么在
次獨立重復試驗中恰好發生
次的概率
．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．如果復數
是純虛數，則實數
的值為
A．0 B．
2．已知函數
則函數
的零點個數為
A．1 B．
3．已知全集
，集合
≤
，
，則
A．
B．
C．
D．
4．命題“
，
”的否定是
A．，
≥0 B．，
C．
，≥0 D．，
5．已知點
，直線
：
，點
是直線上的一點，若
，則點
的軌跡方程為
A．
B．
C．
D．
6．函數
的導函數
在區間
上的圖像大致是
A. B. C. D.
7．現有4種不同顏色要對如圖1所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有
A．24種 B．30種 C．36種 D．48種
8．設直線與球
有且只有一個公共點，從直線出發的兩個半平面
、
截球的兩個截面圓的半徑分別為
和
，二面角
的平面角為
，則球的表面積為
A．
B．
C．
D．
（一）必做題（9～12題）
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．
9．在空間直角坐標系中，以點
，
，
為頂點的
是以
為斜邊的等腰直角三角形，則實數
的值為 ．
10．在某項才藝競賽中，有9位評委，主辦單位規定計算參賽者比賽成績的規則如下：剔除評委中的一個最高分和一個最低分后，再計算其他7位評委的平均分作為此參賽者的比賽成績．現有一位參賽者所獲9位評委一個最高分為86分、一個最低分為45分，若未剔除最高分與最低分時9位評委的平均分為76分，則這位參賽者的比賽成績為 分．
12．在平面內有
≥
條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，若這條直線把平面分成
個平面區域，則
的值是
，的表達式是 ．
（二）選做題（13～15題，考生只能從中選做兩題）
13．（幾何證明選講選做題）如圖3所示，在四邊形
中，
，
，則
的值為
．
14．（不等式選講選做題） 函數
的最小值為 ．
15．（坐標系與參數方程選做題）直線
被圓
（
為參數）所截得的弦長為
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知向量
，
，設函數
．
（1）求函數的值域；
（2） 已知銳角的三個內角分別為
，
，
，若
，
，求
的值．
17．（本小題滿分12分）
在長方體
中，
，過
、
、三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖4所示的幾何體
，且這個幾何體的體積為
．
（1）求棱
的長；
（2）在線段
上是否存在點，使直線
與
垂直，
如果存在，求線段的長，如果不存在，請說明理由．
18．（本小題滿分14分）
已知等比數列
的前項和為
，若
，
，
成等差數列，試判斷
，
，
是否成等差數列，并證明你的結論．
19．（本小題滿分14分）
一個口袋中裝有2個白球和個紅球（≥2且
），每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎．
（1）試用含的代數式表示一次摸球中獎的概率
；
（2）若
，求三次摸球恰有一次中獎的概率；
（3）記三次摸球恰有一次中獎的概率為
，當為何值時，最大？
20．（本小題滿分14分）
已知函數
，
，其中
．
（1）若
是函數
的極值點，求實數
的值；
（2）若對任意的
（
為自然對數的底數）都有
≥
成立，求實數的取值范圍．
21．（本小題滿分14分）
已知雙曲線：
的離心率為
，左、右焦點分別為
、
，在雙曲線上有一點
，使
，且
的面積為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點
的動直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點、，在線段
上取異于、的點
，滿足
．證明：點總在某定直線上．
2009年廣州市普通高中畢業班綜合測試（二）
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
C
B
A
D
D
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前二題得分．第12題第1個空3分，第2個空2分.
9．2
10．79
11．0 或 2 12．16，
13．1 14．3 15．6
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題主要考查三角函數性質和三角函數的基本關系等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力）
解：（1）
．
∵
，
∴函數
的值域為
．
（2）∵
，
，∴
，
．
∵
都為銳角，∴
，
．
∴
．
∴
的值為
．
17．（本小題主要考查空間線面關系、幾何體的表面積與體積等基本知識，考查數形結合的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）
解：（1）設
,∵幾何體
的體積為
，
∴
，
即
，
即
，解得
．
∴
的長為4．
（2）在線段
上存在點
，使直線
與
垂直．
以下給出兩種證明方法：
方法1：過點
作的垂線交
于點
，過點作
交于點．
∵
，
，
，
∴
平面
．
∵
平面，∴
．
∵
，∴平面
．
∵
平面，∴
．
在矩形
中，∵
∽
，
∴
，即
，∴
．
∵
∽
，∴
，即
，∴
．
在
中，∵
，∴
．
由余弦定理，得
．
∴在線段上存在點,使直線與垂直，且線段的長為
．
方法2：以點
為坐標原點，分別以
，
，
所在的直線為
軸，
軸，
軸建立如圖的空間直角坐標系，由已知條件與（1）可知，
，
，
，
假設在線段上存在點
≤≤2，
，0≤≤
使直線與垂直，過點作
交
于點．
由
∽
，得
，
∴
．
∴
．
∴
，
．
∵
，∴
，
即
，∴
．
此時點的坐標為
，在線段上．
∵
，∴
．
∴在線段上存在點，使直線與垂直，且線段的長為．
18．（本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式等基礎知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）
解：設等比數列
的首項為
，公比為
，
若
，
，
成等差數列，
則
．
∴
．
∵
，
，∴
．
解得
或
．
當時，∵
，
，
，
∴
．
∴當時，
，
，
不成等差數列．
當時，，，成等差數列．下面給出兩種證明方法．
證法1：∵
，
∴
．
∴當時，，，成等差數列．
證法2：∵
，
又
，
∴．
∴當時，，，成等差數列．
19．（本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨立重復試驗等基礎知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）
解：（1）∵一次摸球從
個球中任選兩個，有
種選法，
任何一個球被選出都是等可能的，其中兩球顏色相同有
種選法，
∴一次摸球中獎的概率
．
（2）若
，則一次摸球中獎的概率
，
三次摸球是獨立重復試驗，三次摸球恰有一次中獎的概率是
．
（3）設一次摸球中獎的概率為，則三次摸球恰有一次中獎的概率為
，
，
∵
，
∴
在
上為增函數，在
上為減函數．
∴當
時，取得最大值．
∵
≥
，
解得
．
故當時，三次摸球恰有一次中獎的概率最大．
20．（本小題主要考查函數的性質、函數與導數等知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力）
（1）解法1：∵
，其定義域為
，
∴
．
∵
是函數
的極值點，∴
，即
．
∵
，∴
．
經檢驗當時，是函數的極值點，
∴．
解法2：∵，其定義域為
，
∴．
令
，即
，整理，得
．
∵
，
∴的兩個實根
（舍去），
，
當變化時，，
的變化情況如下表：
―
0
＋
極小值
依題意，
，即
，
∵，∴．
（2）解：對任意的
都有
≥
成立等價于對任意的都有
≥
．
當
［1，
］時，
同步練習冊答案
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