廈門市2009年高中畢業班質量檢查
數學(理科)試題
本試卷分第1卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，其中第Ⅱ卷第21題（1）、（2）、（3）題為選考題，本劇要求選答；其他題為必考題，本卷滿分150分，考試時間120分鐘?
參考公式：
錐體的體積公式： 
，其中S為底面面積，h為高；
球的表面積、體積公式：
其中r為球的半徑．
第Ⅰ卷(選擇題共50分)
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中有且僅有一項是符合題目要求的．把答案填涂在答題卡的相應位置
1．
已知復數
，則
等于
A．
B．
C．
D．
2．設
的大小關系是
A. 
B. 
C. 
D. 
3．直角坐標平面內，過點P(2，1)且與圓
相切的直線
A．有兩條 B．有且僅有一條
C．不存在
D．不能確定
4．執行如圖的程序，如果輸出的
，那么可以在判斷框內填入
A．
B．
C．
D．
5.已知等比數列
，且
成等差數列，則
等于
A．33 B．
6.如果一個幾何體的三視圖如圖所示（單位長度：cm），則此幾何體的體積是
A．
B．
C．
D．
7.如圖，正方形的四個頂點為
，曲線
經過點
�，F將一質點隨機投入正方形中，則質點落在圖中陰影區域的概率是
A．
B．
C．
D．
8.某班級有一個7人小組，現任選其中3人相互調整座位，其余4人座位不變，則不同的調整方案的種數有
A．35 B．
9.下列命題中，真命題是
A．
B．
C．
D．
10.在
中，
分別為角
的對邊，若
，且
，則
等于
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷(非選擇題共100分)
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填寫在答題卡的相應位置
11.若
滿足
，則
的最小值是
12.已知過點
的雙曲線
與橢圓
有相同的焦點，則雙曲線的漸近線方程是
13.已知隨機變量
，若
，則
14.已知
，若
，則
15.已知A、B、C三支足球隊舉行單循環賽（即任何兩個隊之間均舉行一場比賽）下表給出了比賽部分結果：
那么A隊與B隊之間比賽結果的進球數之比是
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.把解答過程填寫在答題卡的相應位置．
16.（本小題滿分13分）
已知函數 
(I)求
的值，并求函數
的最小正周期；
(Ⅱ)當
時，求函數的值域，并寫出取得最大值時
值．
17. (本小題滿分13分)
已知四棱柱ABCD―A1BlClDl的側棱AA1垂直于底面，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB ⊥BC，AD=AB=AA1=2BC
，
E為 DD1的中點．F為A1D
(I)求證：EF∥平面A1BC，
(II)求直線EF與平面A1CD所成角
的正弦值
18. (本小題滿分13分)
為抗擊金融風暴，某系統決定對所屬企業給予低息貸款的扶持，該系統制定了評分標準，并根據標準對企業進行評估，然后依據評估得分將這些企業分別定為優秀、良好、合格、不合格四個等級，并根據等級分配相應的低息貸款數額，為了更好地掌握貸款總額，該系統隨機抽查了所屬的部分企業。一下圖表給出了有關數據（將頻率看做概率）
（1）
任抽一家所屬企業，求抽到的企業等級是優秀或良好的概率；
（2）
對照標準，企業進行了整改。整改后，如果優秀企業數量不變，不合格企業、合格企業、良好企業的數量成等差數列。要使所屬企業獲得貸款的平均值（即數學期望）不低于410萬元，那么整改后不合格企業占企業總數百分比的最大值是多少？
19. (本小題滿分13分)
20. （本小題滿分14分）
二次函數
圖像頂點為且過點
，又的面積等于1。
（1）求滿足條件的函數
的解析式；
（2）當時
，求函數
的極值；
（3）正項數列
滿足
，且
，設
，求
。
21.本題有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做前面兩題計分。
(1)（本小題滿分7分）選修4―2：矩陣與變換
已知
，
是繞原點逆時針旋轉
變換所對應的矩陣,求曲線
經過矩陣
變換后的曲線方程。
（2）（本小題滿分7分）選修4―4：坐標系與參數方程
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線
的極坐標方程為
，曲線的參數方程為
（
為對數），求曲線截直線所得的弦長。
（3）（本小題滿分7分）選修4―5：不等式選講
已知
，且是正數，求證：
。
廈門市2009年高中畢業班質量檢查
一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算． 每題5分，滿分50分
1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.B 10.D
二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算． 每題4分，滿分20分．
11. 5 12.
三、解答題：本題共6大題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16. 本題主要考查三角函數性質、三角恒等變換等基本知識，考查推理和運算能力．滿分13分。
解：（Ⅰ）
（2）
17. 本題主要考查線面平行與垂直關系，及多面體的體積計算等基礎知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運算能力．同時也可考查學生靈活利用圖形，建立空間直角坐標系，借助向量工具解決問題的能力。滿分13分。
解：（1）證明：
EF 分別是DD1 DA1的中點， EF A1D1
又 A1D1 B
EF 平面A1BC
(2) 法一： AB AD AA1兩兩垂直，以AB所在直線為
軸，以 AD所在直線軸，以AA1所在直線為 軸，建立空間直角坐標系如圖，設BC=1
則 
設平面A1CD的法向量
18.本題主要考查頻率分布直方圖、隨機變量的分布列及數學期望等概率與統計的基礎知識，考查運算求解能力、數據處理能力、分析與解決問題能力及必然與或然的數學思想、應用意識等。滿分13分。
解：（1）設任意抽取一家企業，抽到不合格企業、合格企業、良好企業、優秀企業的概率分別是p1、p2、p3、p4
則根據頻率分布直方圖可知：
(2) 設整改后，任意抽取一家企業，抽到不合格企業、合格企業、良好企業的概率分別為
,
19.本題主要考查向量、直線、拋物線等基礎知識及軌跡的求解方法，考查函數與方程思想、分類與整合思想及運算求解能力、探究能力、分析問題和解決問題的能力。滿分13分
解：（1）
（2）
20. 本題主要考查二次函數及其性質、導數的基本知識，幾何意義及其應用，同時考查考生分類討論思想方法及化規的能力：
解：（1）依題意設
，由
（
為
邊上的高）。
或3，
或
（或討論
與
）。
或依題意
或3，其它同上
（2）當時，
令
得
，或
不是極值點，是極值點，
因此，函數
的極小值為
，極大值不存在。
（3）對于，由
及
，得
，不合題意，舍去，
只能
對
恒成立，
又
，
數列
是首項為3，公比為2的等比數列，
，
為所求。
或
21.（1）本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想。
解：由已知得
，矩陣
它所對應的變換為
解得
，把它代入方程為
得
即經過矩陣
的變換后的曲線方程
。
（也可先計算
再求曲線方程，可相應給分）
（2）本題主要考查直線和橢圓的極坐標與參數方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想。
解：由
可化為直角坐標方程
參數方程為
（
為對數）可化為直角坐標方程
聯立（1）（2）得兩曲線的交點為
所求的弦長
（3）本題主要考查利用柯西不等式證明不等式，考查推理論證能力。
證明：左邊
。
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