新教材高考數學模擬題精編詳解第四套試題
題號
一
二
三
總分
1～12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
分數
說明：本套試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分．考試時間：120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的．
1．（理）全集設為U，P、S、T均為U的子集，若
（
）＝（）
則（�。�
A．
B．P＝T＝S
C．T＝U D．
＝T
�。ㄎ模┰O集合
，
，若U＝R，且
，則實數m的取值范圍是（�。�
A．m＜2 B．m≥2
C．m≤2 D．m≤2或m≤-4
2．（理）復數
（�。�
A．
B．
C．
D．
�。ㄎ模cM（8，-10），按a平移后的對應點
的坐標是（-7，4），則a＝（�。�
A．（1，-6） B．（-15，14）
C．（-15，-14） D．（15，-14）
3．已知數列
前n項和為
，則
的值是（�。�
A．13 B．-76 C．46 D．76
4．若函數
的遞減區間為（
，
），則a的取值范圍是（�。�
A．a＞0 B．-1＜a＜0
C．a＞1 D．0＜a＜1
5．與命題“若
則
”的等價的命題是（�。�
A．若
，則 B．若，則
C．若，則
D．若，則
6．（理）在正方體
中，M，N分別為棱
和
之中點，則sin（
，
）的值為（ ）
A．
B．
C．
D．
�。ㄎ模┮阎忮FS-ABC中，SA，SB，SC兩兩互相垂直，底面ABC上一點P到三個面SAB，SAC，SBC的距離分別為
，1，
，則PS的長度為（�。�
A．9 B．
C．
D．3
7．在含有30個個體的總體中，抽取一個容量為5的樣本，則個體a被抽到的概率為（�。�
A．
B．
C．
D．
8．（理）已知拋物線C：
與經過A（0，1），B（2，3）兩點的線段AB有公共點，則m的取值范圍是（�。�
A．
，
[3，
B．[3，
C．， D．[-1，3]
�。ㄎ模┰O
，則函數
的圖像在x軸上方的充要條件是（ ）
A．-1＜x＜1 B．x＜-1或x＞1
C．x＜1 D．-1＜x＜1或x＜-1
9．若直線y＝kx＋2與雙曲線
的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（ ）
A．
，
B．
，
C．，
D．，
10．a，b，c
（0，＋∞）且表示線段長度，則a，b，c能構成銳角三角形的充要條件是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．今有命題p、q，若命題S為“p且q”則“
或
”是“
”的（�。�
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
12．（理）函數
的值域是（ ）
A．[1，2] B．[0，2]
C．（0，
D．
，
�。ㄎ模┖瘮�
與
圖像關于直線x-y＝0對稱，則
的單調增區間是（�。�
A．（0，2） B．（-2，0）
C．（0，＋∞） D．（-∞，0）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
答案
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本題共4小題，共16分，把答案填在題中的橫線上
13．等比數列的前n項和為
，且某連續三項正好為等差數列
中的第1，5，6項，則
________．
14．若
，則k＝________．
15．有30個頂點的凸多面體，它的各面多邊形內角總和是________．
16．長為l
0＜l＜1
的線段AB的兩個端點在拋物線
上滑動，則線段AB中點M到x軸距離的最小值是________．
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（12分）從一批含有13只正品，2只次品的產品中不放回地抽取3次，每次抽取一只，設抽得次品數為
．
（1）求的分布列；
�。�2）求E（5-1）．
18．（12分）如圖，在正三棱柱
中，M，N分別為
，BC之中點．
�。�1）試求
，使
．
�。�2）在（1）條件下，求二面角
的大小．
19．（12分）某森林出現火災，火勢正以每分鐘
的速度順風蔓延，消防站接到警報立即派消防隊員前去，在火災發生后五分鐘到達救火現場，已知消防隊員在現場平均每人每分鐘滅火
，所消耗的滅火材料、勞務津貼等費用為每人每分鐘125元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費用平均每人100元，而燒毀
20．（12分）線段
，BC中點為M，點A與B，C兩點的距離之和為6，設
，
．
�。�1）求
的函數表達式及函數的定義域；
（2）（理）設
，試求d的取值范圍；
�。ㄎ模┣�y的取值范圍．
21．（12分）定義在（-1，1）上的函數，（i）對任意x，
（-1，1）都有：
；（ii）當
（-1，0）時，
，回答下列問題．
�。�1）判斷在（-1，1）上的奇偶性，并說明理由．
（2）判斷函數在（0，1）上的單調性，并說明理由．
�。�3）（理）若
，試求
的值．
22．（14分）（理）已知Ｏ為△ABC所在平面外一點，且
a，
b，
c，OA，OB，OC兩兩互相垂直，H為△ABC的垂心，試用a，b，c表示
．
�。ㄎ模┲本�l∶y＝ax＋1與雙曲線C∶
相交于A，B兩點．
�。�1）a為何值時，以AB為直徑的圓過原點；
�。�2）是否存在這樣的實數a，使A，B關于直線x-2y＝0對稱，若存在，求a的值，若不存在，說明理由．
1．（理）A�。ㄎ模〣 2．（理）B�。ㄎ模〣 3．B 4．A 5．D
6．（理）B�。ㄎ模〥 7．B 8．（理）C�。ㄎ模〥 9．D 10．D 11．C
12．（理）A （文）A 13．1或0 14．
15．10080° 16．
17．解析：（1）
的分布如下
0
1
2
P
（2）由（1）知
．
∴ 
．
18．解析：（1）以
點為坐標原點，
所在直線為x軸，
所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，設
，
（a，
（0，＋∞）．
∵ 三棱柱
為正三棱柱，則
，B，
，C的坐標分別為：（b，0，0），
，
，
，，，
，（0，0，a）． ∴ 
，，，
，
，
．
�。�2）在（1）條件下，不妨設b＝2，則
，
又A，M，N坐標分別為（b，0，a），（
，
，0），（
，，a）．
∴ 
，
． ∴ 
同理 
．
∴ △
與△
均為以
為底邊的等腰三角形，取中點為P，則
，
為二面角
的平面角，而點P坐標為（1，0，
），
∴ 
，
，
． 同理 
，，
．
∴ 
．
∴ ∠NPM＝90°
二面角的大小等于90°．
19．解析：設派x名消防員前去救火，用t分鐘將火撲滅，總損失為y，則
y＝滅火勞務津貼＋車輛、器械裝備費＋森林損失費
＝125tx＋100x＋60（500＋100t）
＝
＝
＝
當且僅當
，即x＝27時，y有最小值36450．
故應該派27名消防員前去救火，才能使總損失最少，最少損失為36450元．
20．解析：（1）當A、B、C三點不共線時，由三角形中線性質知
；
當A，B，C三點共線時，由
在線段BC外側，由
或x＝5，因此，當x＝1或x＝5時，有
，
同時也滿足：
．當A、B、C不共線時，
定義域為[1，5]．
（2）（理）∵ 
． ∴ d＝y＋x-1＝
．
令 t＝x-3，由
，
，
兩邊對t求導得：
關于t在[-2，2]上單調增．
∴ 當t＝2時，
＝3，此時x＝1． 當t＝2時，
＝7．此時x＝5．故d的取值范圍為[3，7]．
�。ㄎ模┯�且
，
，
∴ 當x＝3時，
．當x＝1或5時，
．
∴ y的取值范圍為[
，3]．
21．解析：（1）令
，令y＝-x，則
在（-1，1）上是奇函數．
�。�2）設
，則
，而
，
．即 當
時，
．
∴ f（x）在（0，1）上單調遞減．
（3）（理）由于
，
，
，
∴ 
．
22．解析：（理）由
平面
，連AH并延長并BC于M．
則 由H為△ABC的垂心． ∴ AM⊥BC．
于是 BC⊥平面OAHOH⊥BC．
同理可證：
平面ABC．
又 
，
，
是空間中三個不共面的向量，由向量基本定理知，存在三個實數
，
，
使得
＝a＋b＋c．
由 
且
＝
＝0b
＝c， 同理
．
∴ 
． �、�
又 AH⊥OH，
∴ 
＝0
②
聯立①及②，得
③
又由①，得 
，
，
，代入③得：
，
，
，
其中
，于是
．
�。ㄎ模�1）聯立方程ax＋1＝y與
，消去y得：
（*）
又直線與雙曲線相交于A，B兩點， ∴
．
又依題 OA⊥OB，令A，B兩點坐標分別為（
，
），（
，
），則 
．
且 
，而由方程（*）知：
，
代入上式得
．滿足條件．
（2）假設這樣的點A，B存在，則l：y＝ax＋1斜率a＝-2．又AB中點
，
在
上，則
，
又 
，
代入上式知 
這與
矛盾．
故這樣的實數a不存在．
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