本資料來源于http://www.7caiedu.cn專題二●中考點擊考點分析:內容要求1.方程的解.解方程及各種方程(組)的有關概念Ⅰ2.一元一次方程及其解法和應用,二元一次方程組及其解法和應用Ⅱ3——青夏教育精英家教網—

本資料來源于《七彩教育網》http://www.7caiedu.cn

專題二《方程與不等式》

●中考點擊

考點分析：

內容

要求

1、方程的解、解方程及各種方程（組）的有關概念

Ⅰ

2、一元一次方程及其解法和應用；二元一次方程組及其解法和應用

Ⅱ

3、用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程

Ⅱ

4、可化為一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其應用

Ⅱ

5、一元二次方程根的判別式及應用

Ⅰ

6、不等式（組）及解集的有關概念，會用數軸表示不等式（組）的解集

Ⅰ

7、不等式的基本性質

Ⅱ

8、一元一次不等式（組）的解法及應用

Ⅱ

命題預測：方程與方程組始終是中考命題的重點內容，近幾年全國各地的中考試題中，考查方程和方程組的分值平均占到25%，試卷涉及的主要考點有方程和方程組的解法；一元二次方程根的判別式以及根與系數關系的簡單運用；列方程和方程組解應用題三大類問題．其中列一元一次方程求解商品利潤問題以選擇題為主；一元二次方程的解法以選擇題和解答題為主；根的判別式及根與系數的關系以選擇題和解答題為主，但難度一般不大；列二元一次方程組解應用題以解答題為主，主要考查解工程類、方案設計類及愉策類問題．結合2005－2006年的中考題不難看出，課改區對方程（組）的考題難度已經有所降低，如根與系數關系的運用，課改區幾乎不再考查．

不等式與不等式組的分值一般占到5－8%左右，其常見形式有一元一次不等式（組）的解法，以選擇題和填空題為主，考查不等式的解法；不等式（組）解集的數軸表示及整數解問題，以選擇題和填空題為主；列不等式（組）解決方案設計問題和決策類問題，以解答題為主．近年試題顯示，不等式（組）的考查熱點是其應用，即列不等式（組）求解實際生活中的常見問題．

由此可見，在方程（組）與不等式（組）這一專題中，命題趨勢將會是弱化純知識性的考題，而更加熱衷于數學知識在生活中的應用問題．

●難點透視

例1解方程：．

【考點要求】本題考查了分式方程的解法．

【思路點撥】去分母將分式方程轉化為整式方程是解分式方程的基本方法，驗根只需將結果代入最簡公分母即可．

原方程變形為方程兩邊都乘以，去分母并整理得，解這個方程得．經檢驗，是原方程的根，是原方程的增根．∴原方程的根是．

【答案】．

【方法點撥】部分學生在解分式方程時，往往不能拿到全部分數，其中很多人是因為忘記檢驗．突破方法：牢牢記住分式方程必須驗根，檢驗這一步不可缺少．

例2

【考點要求】本題考查用消元法解二元二次方程組．

【思路點撥】解方程組的基本思路就是消元和降次，要根據方程組的特點選取適當方法．

由方程①可得，

∴.它們與方程②分別組成兩個方程組：

解方程組可知，此方程組無解；

解方程組得

所以原方程組的解是

【答案】

【規律總結】少數學生未能掌握二元二次方程組的基本解題思路，不知如何處理．突破方法：將第一個方程通過因式分解，得到兩個一次方程，再分別與第二個方程組成兩個新的方程組，求解．

解題關鍵：解二元二次方程組的基本解題思想是消元，即化二元為一元．常用的方法就是通過因式分解進行降次，再重新組成新的方程組求解，所求得的結果即為原方程組的解．

例3下列一元方程中，沒有實數根的是（）

A． B．

C． D．

【考點要求】本題考查一元二次方程根的判別式．

【思路點撥】根據，確定好選項方程中的各項的系數及常數項，代入根的判別式進行計算，如果所求結果非負，則有實數根；否則沒有實數根．

C選項中＜0，方程無實數根．

【答案】選C．

【錯解分析】出現錯誤的學生主要是兩原因：一是根的判斷式未能記牢，出現使用錯誤，二是在確定各項系數和常數項時，弄錯符號，導致計算錯誤．突破方法：將一元二次方程化為一般式后，再確定系數及常數項．

解題關鍵：根據可知，若二次項系數與常數項異號，則方程必有實數根，從而縮小解題范圍．

例4用換元法解分式方程時，如果設，那么原方程可化為關于y的一元二次方程的一般形式是．

【考點要求】本題考查利用換元法將分式方程轉化為整式方程．

【思路點撥】整體代換（換元法）也是我們解方程常用的方法之一，它在解方程中起到消元、降次簡化運算的作用．

把代入原方程得，，即，故答案應填寫．

【答案】．

【方法點撥】整體換元要求原方程具備一定結構特點，如果不具備，必須設法通過變形化出相同或者相關的形式再進行換元．

例5若不等式組的正整數解只有2，求的整數值．

【考點要求】本題考查解不等式組及不等式組的解集等知識的綜合運用．

要求的值，可先求出不等式組中的各不等式的解集，再根據不等式組的正整數解只有2，列出關于的不等式組，進而求出的值．

，解得．

又∵原不等式組只有正整數解2．

由右圖，應有．

∴∴

【答案】

【誤區警示】部分學生解出不等式組的解集后，不知如何運用“正整數解只有2”這一條件．突破方法：用含a的代數式表示不等式組的解集，結合數軸表示出不等式組的解集，再轉化為關于a的不等式組，求出a的值．

例6如圖甲是某學校存放學生自行車的車棚的示意圖（尺寸如圖所示），車棚頂部是圓柱側面的一部分，其展開圖是矩形．圖乙是車棚頂部截面的示意圖，弧AB所在圓的圓心為O．

車棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋棚頂的帆布的面積（不考慮接縫等因素，計算結果保留）．

6ec8aac122bd4f6e

【考點要求】本題考查用方程解幾何問題，方程是解決幾何有關計算問題的有效的方法和工具，通常結合勾股定理的形式出現．

【思路點撥】連結OB，過點O作OE⊥AB，垂足為E，交弧AB于F，如圖．

6ec8aac122bd4f6e 由垂徑定理，可知：E是AB中點，F是弧AB中點，

∴EF是弓形高 ∴AE=2，EF=2．

設半徑為R米，則OE=(R－2)米．

在Rt△AOE中，由勾股定理，得 R ²=．解得R =4．

∵sin∠AOE=， ∴ ∠AOE=60°，

∴∠AOB=120°． ∴弧AB的長為=．

∴帆布的面積為 ×60=160（平方米）．

【答案】160（平方米）．

【方法點撥】部分學生遇此問題，不能將實際問題抽象為數學問題．突破方法：聯系實際，將車棚頂部展開得長方形，其長為車棚長，寬為弧AB長．

解題關鍵：在利用數學知識解決實際問題時，要善于把實際問題與數學中的理論知識聯系起來，能將生活中的問題抽象為數學問題．

例7已知方程組的解x、y滿足2x+y≥0，則m的取值范圍是（）

A．m≥－ B．m≥ C．m≥1 D．－≤m≤1

【考點要求】本題考查方程（組）與不等式的綜合問題，此類題型常用的方法是可把看作已知數，用它來表示其余未知數．

【思路點撥】由題意，可求出，代入2x+y≥0，解得m≥－．或者也可整體求值，把第(2)式乘以4減去第(1)式直接得，得，解得m≥－．

【答案】選A．

【方法點撥】本題一般做法是把m看作是已知系數，用含m的代數式表示x、y，解出方程組的解，然后再把所求的x、y的值入題目中的不等式，從而得到只含m的不等式，求出解集．或者也可以依據題目條件的特點，從整體考慮，直接進行整理得到與不等式相關的代數式，進行求解．

例8根據對話的內容，試求出餅干和牛奶的標價各是多少元？

【考點要求】本題考查方程在實際情境中的運用，結合現實問題情景,需把方程和不等式有關內容有機結合起來,求出整數解.

【思路點撥】設餅干的標價每盒x元，牛奶的標價為每袋y元，

6ec8aac122bd4f6e 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由②得y=9.2－0.9x ④

把④代入①，得x+9.2－0.9x＞10 ∴ x ＞8

由③得8＜x＜10 ∵x是整數 ∴x=9

將x=9代入④，得y=9.2－0.9×9=1.1

【答案】餅干一盒標價9元，一袋牛奶標價1.1元．

【方法點撥】部分學生不習慣這種情境題，不能很好地從情景對話中找出有用的信息來．突破方法：因為題目中的條件只是兩人對話，因此要緊緊圍繞兩人的對話進行分析，綜合各數據列出不等式組求解．

解題關鍵：情境題中的條件一般不會很多，但每一句話都可能給出重要信息，因此要仔細閱讀分析．

例9某商場計劃撥款9萬元從廠家購買50臺電視機，已知該廠家生產三種不同型號的電視機的出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元，商場銷售一臺甲種電視機可獲利150元，銷售乙種電視機每臺可獲利200元，銷售丙種電視機每臺可獲利250元．

(1)若同時購進其中兩種不同型號電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案；

(2)經市場調查這三種型號的電視機是最受歡迎的，且銷售量乙種是丙種的3倍．商場要求成本不能超過計劃撥款數額，利潤不能少于8500元的前提，購進這三種型號的電視機共50臺，請你設計這三種不同型號的電視機各進多少臺？

【考點要求】本題考查方程（組）在實際生活中的應用．

【思路點撥】在市場經濟大環境背景下,用數學知識確定價格,預計利潤,是中考應用性問題的常見題型.我們通過運用數學知識能夠避免盲目的投資,創造最大的經濟.

（1）(Ⅰ)設甲種電視機臺,乙種電視機臺.

則,解得

(Ⅱ)設甲種電視機臺,丙種電視機臺.

則,解得

（Ⅲ)設乙種電視機臺,丙種電視機臺.

則,解得 (舍去)

(2)設甲種電視機臺,乙種電視機臺,丙種電視機臺.

由題意得

解得: ∴

∴ 進貨方案有:①甲、乙、丙各為34臺、12臺和4臺；

②甲、乙、丙各為30臺、15臺和5臺；

商場的利潤為①（元）

②（元）

∴ 要是商場獲利最大，則進貨方案為甲、乙、丙各為30臺、15臺和5臺；

【答案】（1）方案一：甲種電視機25臺，乙種電視機25臺，方案二：甲種電視機35臺，乙種電視機15臺；（2）要是商場獲利最大，則進貨方案為甲、乙、丙各為30臺、15臺和5臺．

【方法點撥】部分學生完成此題時，解題不能完整．突破方法：本題以現實問題為背景，以方案設計為主題，體現分類討論的數學思想.

例10某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產、兩種產品，共50件．已知生產一件種產品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克；生產一件種產品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克．

（1）據現有條件安排、兩種產品的生產件數，有哪幾種方案，請你設計出來．

（2）若甲種原料每千克80元，乙種原料每千克120元，怎樣設計成本最低．

【考點要求】本題考查運用不等式知識解決實際生活和生產中的問題，不僅考查學生對知識的掌握，靈活運用知識的解題的能力，同時考查學生數學建模的能力．

【思路點撥】（1）設生產種產品件，種產品件．按這樣生產需甲種的原料，∴即：．∵為整數，∴∴有三種生產方案．

第一種方案：生產種產品30件，種產品20件；

第二種方案：生產種產品31件，種產品19件；

第三種方案：生產種產品32件，種產品18件．

（2）第一種方案的成本：（元）．

第二種方案的成本：（元）．

第三種方案的成本：（元）．

∴第三種方案成本最低．

【答案】（1）第一種方案：生產種產品30件，種產品20件；

第二種方案：生產種產品31件，種產品19件；

第三種方案：生產種產品32件，種產品18件．

（2）第三種方案成本最低．

【方法點撥】解決本題的關鍵在于找出生產種產品和種產品分別甲種原料和乙種原料的數量，再根據廠里現有甲乙兩種原料的數量列出不等式組，解不等式組得出結果可得三種生產方案．再根據三種不同方案，求出最低成本．

●難點突破方法總結

方程（組）及方程（組）的應用問題是中考命題的重點，主要考查學生的應用能力，題型內容貼近生活實際，考查學生的分析問題和解決問題的能力，在解題時應注意以下問題：

1.正確理解和掌握方程與方程組的相關概念，性質，結論和方法，這是解決有關方程與方程組問題的前提．

2.用化歸思想求解二元一次方程組，可化為一元一次方程和一元二次方程的分式方程．

3.熟練掌握用換元法解方程及方程組．

4.關注社會，積累生活經驗，通過閱讀、觀察、比較、分析、歸納、綜合等方法解決與生產、生活密切相關的社會熱點問題．

●拓展演練

一、填空題

1．“某數與 6 的和的一半等于 12”，設某數為 x，則可列方程_________．

練習冊

高中

初中

小學