2009年高考數學難點突破專題輔導二十八
難點28 求空間距離
空間中距離的求法是歷年高考考查的重點，其中以點與點、點到線、點到面的距離為基礎，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離.
●難點磁場
(★★★★)如圖，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中點.
求：(1)Q到BD的距離；
(2)P到平面BQD的距離.
●案例探究
［例1］把正方形ABCD沿對角線AC折起成直二面角，點E、F分別是AD、BC的中點，點O是原正方形的中心，求：
(1)EF的長；
(2)折起后∠EOF的大小.
命題意圖：考查利用空間向量的坐標運算來解決立體幾何問題，屬★★★★級題目.
知識依托：空間向量的坐標運算及數量積公式.
錯解分析：建立正確的空間直角坐標系.其中必須保證x軸、y軸、z軸兩兩互相垂直.
技巧與方法：建系方式有多種，其中以O點為原點，以
、
、
的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向最為簡單.
解：如圖，以O點為原點建立空間直角坐標系O―xyz,設正方形ABCD邊長為a,則A(0，－
a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,－
a, a),F(a, a,0)
∴∠EOF=120°
［例2］正方體ABCD―A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線A1C1與AB1間的距離.
命題意圖：本題主要考查異面直線間距離的求法，屬★★★★級題目.
知識依托：求異面直線的距離，可求兩異面直線的公垂線，或轉化為求線面距離，或面面距離，亦可由最值法求得.
錯解分析：本題容易錯誤認為O1B是A1C與AB1的距離，這主要是對異面直線定義不熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂直相交的直線上垂足間的距離.
技巧與方法：求異面直線的距離，有時較難作出它們的公垂線，故通常采用化歸思想，轉化為求線面距、面面距、或由最值法求得.
解法一：如圖，連結AC1，在正方體AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1與平面AB1C間的距離等于異面直線A1C1與AB1間的距離.
連結B1D1、BD，設B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O
∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D
∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，連結B1O，則平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O
作O1G⊥B1O于G，則O1G⊥平面AB1C
∴O1G為直線A1C1與平面AB1C間的距離，即為異面直線A1C1與AB1間的距離.
在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB1=
= 
∴O1G=
，即異面直線A1C1與AB1間距離為
.
解法二：如圖，在A1C上任取一點M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，連結RN，
∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1
∵AB1⊥RN，設A1R=x,則RB1=1－x
∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°，
∴MR=x,RN=NB1=
(0＜x＜1
∴當x=
時，MN有最小值即異面直線A1C1與AB1距離為.
●錦囊妙記
空間中的距離主要指以下七種：
(1)兩點之間的距離.
(2)點到直線的距離.
(3)點到平面的距離.
(4)兩條平行線間的距離.
(5)兩條異面直線間的距離.
(6)平面的平行直線與平面之間的距離.
(7)兩個平行平面之間的距離.
七種距離都是指它們所在的兩個點集之間所含兩點的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯系，有些可以相互轉化，如兩條平行線的距離可轉化為求點到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉化成點到平面的距離.
在七種距離中，求點到平面的距離是重點，求兩條異面直線間的距離是難點.
求點到平面的距離：(1)直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長.(2)轉移法，轉化成求另一點到該平面的距離.(3)體積法.
求異面直線的距離：(1)定義法，即求公垂線段的長.(2)轉化成求直線與平面的距離.(3)函數極值法，依據是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點間距離中最小的.
●殲滅難點訓練
2009年高考數學難點突破專題輔導二十七
難點27 求空間的角
空間的角是空間圖形的一個要素，在異面直線所成的角、線面角、二面角等知識點上，較好地考查了學生的邏輯推理能力以及化歸的數學思想.
●難點磁場
(★★★★★)如圖，α―l―β為60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角頂點P在l上，M∈α,N∈β,且MP與β所成的角等于NP與α所成的角.
(1)求證：MN分別與α、β所成角相等；
(2)求MN與β所成角.
●案例探究
［例1］在棱長為a的正方體ABCD―A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的中點.
(1)求證：四邊形B′EDF是菱形；
(2)求直線A′C與DE所成的角；
(3)求直線AD與平面B′EDF所成的角；
(4)求面B′EDF與面ABCD所成的角.
命題意圖：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強，屬★★★★★級題目.
知識依托：平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角.
錯解分析：對于第(1)問，若僅由B′E=ED=DF=FB′就斷定B′EDF是菱形是錯誤的，因為存在著四邊相等的空間四邊形，必須證明B′、E、D、F四點共面.
技巧與方法：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法.求二面角的大小也可應用面積射影法.
(1)證明：如上圖所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=
a,下證B′、E、D、F四點共面，取AD中點G，連結A′G、EG，由EG
ABA′B′知，B′EGA′是平行四邊形.
∴B′E∥A′G,又A′F
DG,∴A′GDF為平行四邊形.
∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四點共面
故四邊形B′EDF是菱形.
(2)解：如圖所示，在平面ABCD內，過C作CP∥DE，交直線AD于P，
則∠A′CP(或補角)為異面直線A′C與DE所成的角.
在△A′CP中，易得A′C=
a，CP=DE=a,A′P=
a
由余弦定理得cosA′CP=
故A′C與DE所成角為arccos.
(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內的射影在∠EDF的平分線上.如下圖所示.
又∵B′EDF為菱形，∴DB′為∠EDF的平分線，
故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′
在Rt△B′AD中，AD=
a，AB′=a,B′D=a
則cosADB′=
故AD與平面B′EDF所成的角是arccos.
(4)解：如圖，連結EF、B′D，交于O點，顯然O為B′D的中點，從而O為正方形ABCD―A′B′C′D的中心.
作OH⊥平面ABCD，則H為正方形ABCD的中心，
再作HM⊥DE，垂足為M，連結OM，則OM⊥DE，
故∠OMH為二面角B′―DE′―A的平面角.
在Rt△DOE中，OE=
a,OD=
a,斜邊DE=a,
則由面積關系得OM=
a
在Rt△OHM中，sinOMH=
故面B′EDF與面ABCD所成的角為arcsin
.
［例2］如下圖，已知平行六面體ABCD―A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱AA1長為b,且AA1與AB、AD的夾角都是120°.
求：(1)AC1的長；
(2)直線BD1與AC所成的角的余弦值.
命題意圖：本題主要考查利用向量法來解決立體幾何問題，屬★★★★★級題目.
知識依托：向量的加、減及向量的數量積.
錯解分析：注意＜
＞=＜
,
＞=120°而不是60°,＜
＞=90°.
技巧與方法：數量積公式及向量、模公式的巧用、變形用.
∴BD1與AC所成角的余弦值為
.
●錦囊妙計
空間角的計算步驟：一作、二證、三算
1.異面直線所成的角 范圍：0°＜θ≤90°
方法：①平移法；②補形法.
2.直線與平面所成的角 范圍：0°≤θ≤90°
方法：關鍵是作垂線，找射影.
3.二面角
方法：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法.
注：二面角的計算也可利用射影面積公式S′=Scosθ來計算
●殲滅難點訓練
2009年高考數學難點突破專題輔導二十六
難點26 垂直與平行
垂直與平行是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣.本節主要幫助考生深刻理解線面平行與垂直、面面平行與垂直的判定與性質，并能利用它們解決一些問題.
●難點磁場
(★★★★)已知斜三棱柱ABC―A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分別是AB、A1B1的中點，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，異面直線AB1和C1B互相垂直.
(1)求證：AB1⊥C1D1；
(2)求證：AB1⊥面A1CD；
(3)若AB1=3，求直線AC與平面A1CD所成的角.
●案例探究
［例1］兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE.
命題意圖：本題主要考查線面平行的判定，面面平行的判定與性質，以及一些平面幾何的知識，屬★★★★級題目.
知識依托：解決本題的關鍵在于找出面內的一條直線和該平面外的一條直線平行，即線(內)∥線(外)
線(外)∥面.或轉化為證兩個平面平行.
錯解分析：證法二中要證線面平行，通過轉化證兩個平面平行，正確的找出MN所在平面是一個關鍵.
技巧與方法：證法一利用線面平行的判定來證明.證法二采用轉化思想，通過證面面平行來證線面平行.
證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB.
∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，
∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ,故四邊形MPQN為平行四邊形
∴MN∥PQ
∵PQ
平面BCE，MN在平面BCE外，
∴MN∥平面BCE.
證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，
∴
連結NH，由BF=AC，FN=AM，得
∴MN∥平面BCE.
［例2］在斜三棱柱A1B1C1―ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；
(2)過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側面BB1C1C；
(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由.
命題意圖：本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質，屬★★★★★級題目.
知識依托：線面垂直、面面垂直的判定與性質.
錯解分析：(3)的結論在證必要性時，輔助線要重新作出.
技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于對題目中條件的思考與分析，掌握做此類題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙作輔助線.
(1)證明：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥側面BB1C1C
∴AD⊥CC1.
(2)證明：延長B1A1與BM交于N，連結C1N
∵AM=MA1，∴NA1=A1B1
∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1
∴C1N⊥C1B1
∵底面NB1C1⊥側面BB1C1C，∴C1N⊥側面BB1C1C
∴截面C1NB⊥側面BB1C1C
∴截面MBC1⊥側面BB1C1C.
(3)解：結論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性.
過M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥側面BB1C1C
∴ME⊥側面BB1C1C，又∵AD⊥側面BB1C1C.
∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面
∵AM∥側面BB1C1C，∴AM∥DE
∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1
∵D是BC的中點，∴E是BC1的中點
∴AM=DE=
AA1，∴AM=MA1.
●錦囊妙計
垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉化關系：
1.平行轉化
2.垂直轉化
每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉向另一垂直或平行最終達到目的.
例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.
●殲滅難點訓練
2009年高考數學難點突破專題輔導二十五
難點25 圓錐曲線綜合題
圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應用，與圓錐曲線有關的定值問題、最值問題、參數問題、應用題和探索性問題，圓錐曲線知識的縱向聯系，圓錐曲線知識和三角、復數等代數知識的橫向聯系，解答這部分試題，需要較強的代數運算能力和圖形認識能力，要能準確地進行數與形的語言轉換和運算，推理轉換，并在運算過程中注意思維的嚴密性，以保證結果的完整.
●難點磁場
(★★★★)若橢圓
=1(a＞b＞0)與直線l：x+y=1在第一象限內有兩個不同的交點，求a、b所滿足的條件，并畫出點P(a,b)的存在區域.
●案例探究
［例1］已知圓k過定點A(a,0)(a＞0),圓心k在拋物線C：y2=2ax上運動，MN為圓k在y軸上截得的弦.
(1)試問MN的長是否隨圓心k的運動而變化？
(2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，拋物線C的準線與圓k有怎樣的位置關系？
命題意圖：本題考查圓錐曲線科內綜合的知識及學生綜合、靈活處理問題的能力，屬
★★★★★級題目.
知識依托：弦長公式，韋達定理，等差中項，絕對值不等式，一元二次不等式等知識.
錯解分析：在判斷d與R的關系時，x0的范圍是學生容易忽略的.
技巧與方法：對第(2)問，需將目標轉化為判斷d=x0+
與R=
的大小.
解：(1)設圓心k(x0,y0),且y02=2ax0,
圓k的半徑R=|AK|=
∴|MN|=2
=
∴弦MN的長不隨圓心k的運動而變化.
(2)設M(0,y1)、N(0,y2)在圓k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，
令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0
∴y1y2=y02－a2
∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項.
∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=
又|MN|=|y1－y2|=
∴|y1|+|y2|=|y1－y2|
∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.
∴0≤x0≤.
圓心k到拋物線準線距離d=x0+≤a,而圓k半徑R=
≥a.
且上兩式不能同時取等號，故圓k必與準線相交.
［例2］如圖，已知橢圓
=1(2≤m≤5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設f(m)=||AB|－|CD||
(1)求f(m)的解析式；
(2)求f(m)的最值.
命題意圖：本題主要考查利用解析幾何的知識建立函數關系式，并求其最值，體現了圓錐曲線與代數間的科間綜合.屬★★★★★級題目.
知識依托：直線與圓錐曲線的交點，韋達定理，根的判別式，利用單調性求函數的最值.
錯解分析：在第(1)問中，要注意驗證當2≤m≤5時，直線與橢圓恒有交點.
技巧與方法：第(1)問中，若注意到xA,xD為一對相反數，則可迅速將||AB|－|CD||化簡.第(2)問，利用函數的單調性求最值是常用方法.
解：(1)設橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1
∴橢圓的焦點為F1(－1,0),F2(1,0).
故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準線方程為x=±
,即x=±m.
∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)
考慮方程組
,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)
整理得：(
Δ=
∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=
.
又∵A、B、C、D都在直線y=x+1上
∴|AB|=|xB－xA|=
=(xB－xA)?,|CD|=(xD－xC)
∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|
又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0
∴||AB|－|CD||=|xB+xC|?=|
|?=
(2≤m≤5)
故f(m)=，m∈［2,5］.
(2)由f(m)=，可知f(m)=
又2－
≤2－
≤2－
∴f(m)∈［
］
故f(m)的最大值為
，此時m=2;f(m)的最小值為
，此時m=5.
［例3］艦A在艦B的正東
千米/秒，其中g為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發射炮彈的方位角和仰角應是多少？
命題意圖：考查圓錐曲線在實際問題中的應用，及將實際問題轉化成數學問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：線段垂直平分線的性質，雙曲線的定義，兩點間的距離公式，斜拋運動的曲線方程.
錯解分析：答好本題，除要準確地把握好點P的位置(既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點的拋物線上)，還應對方位角的概念掌握清楚.
技巧與方法：通過建立恰當的直角坐標系，將實際問題轉化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程.
解：取AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系.由題意可知，A、B、C艦的坐標為(3，0)、(－3，0)、(－5，2
).
由于B、C同時發現動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為x－3y+7=0.
又由A、B兩艦發現動物信號的時間差為4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在雙曲線
=1的右支上.
直線與雙曲線的交點為(8，5)，此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得|PA|=10.
據已知兩點的斜率公式，得kPA=,所以直線PA的傾斜角為60°,于是艦A發射炮彈的方位角應是北偏東30°.
設發射炮彈的仰角是θ，初速度v0=，則
,
∴sin2θ=
,∴仰角θ=30°.
●錦囊妙計
解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質，注意挖掘知識的內在聯系及其規律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.
(1)對于求曲線方程中參數的取值范圍問題，需構造參數滿足的不等式，通過求不等式(組)求得參數的取值范圍；或建立關于參數的目標函數，轉化為函數的值域.
(2)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，可考慮利用數形結合法解；當題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立目標函數，再求這個函數的最值.
●殲滅難點訓練
2009年高考數學難點突破專題輔導二十三
難點23 求圓錐曲線方程
求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學生識圖、畫圖、數形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創新思維能力，解決好這類問題，除要求同學們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數法.
●難點磁場
1.(★★★★★)雙曲線
=1(b∈N)的兩個焦點F1、F2，P為雙曲線上一點，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數列，則b2=_________.
2.(★★★★)如圖，設圓P滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長比為3∶1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程.
●案例探究
［例1］某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸(即雙曲線的虛軸)旋轉所成的曲面，其中A、A′是雙曲線的頂點，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B′是下底直徑的兩個端點，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.
(1)建立坐標系并寫出該雙曲線方程.
(2)求冷卻塔的容積(精確到10 m2,塔壁厚度不計，π取3.14).
命題意圖：本題考查選擇適當的坐標系建立曲線方程和解方程組的基礎知識，考查應用所學積分知識、思想和方法解決實際問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：待定系數法求曲線方程；點在曲線上，點的坐標適合方程；積分法求體積.
錯解分析：建立恰當的坐標系是解決本題的關鍵，積分求容積是本題的重點.
技巧與方法：本題第一問是待定系數法求曲線方程，第二問是積分法求體積.
解：如圖，建立直角坐標系xOy,使AA′在x軸上，AA′的中點為坐標原點O，CC′與BB′平行于x軸.
設雙曲線方程為
=1(a＞0,b＞0),則a=
AA′=7
又設B(11,y1),C(9,x2)因為點B、C在雙曲線上，所以有
由題意，知y2－y1=20,由以上三式得：y1=－12,y2=8,b=7
故雙曲線方程為
=1.
(2)由雙曲線方程，得x2=y2+49
設冷卻塔的容積為V(m3),則V=π
,經計算，得V=4.25×103(m3)
答：冷卻塔的容積為4.25×103m3.
［例2］過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為
的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.
命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數法求曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強，屬★★★★★級題目.
知識依托：待定系數法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題.
錯解分析：不能恰當地利用離心率設出方程是學生容易犯的錯誤.恰當地利用好對稱問題是解決好本題的關鍵.
技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達定理.
解法一：由e=
,得
,從而a2=2b2,c=b.
設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.
則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
設AB中點為(x0,y0),則kAB=－
,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是－=
－1,kAB=－1,設l的方程為y=－x+1.
右焦點(b,0)關于l的對稱點設為(x′,y′),
由點(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=
.
∴所求橢圓C的方程為
=1,l的方程為y=－x+1.
解法二：由e=
,從而a2=2b2,c=b.
設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x－1),
將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,則x1+x2=
,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－
.
直線l：y=x過AB的中點(
),則
,解得k=0，或k=
－1.
若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.
［例3］如圖，已知△P1OP2的面積為
，P為線段P1P2的一個三等分點，求以直線OP1、OP2為漸近線且過點P的離心率為
的雙曲線方程.
命題意圖：本題考查待定系數法求雙曲線的方程以及綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：定比分點坐標公式；三角形的面積公式；以及點在曲線上，點的坐標適合方程.
錯解分析：利用離心率恰當地找出雙曲線的漸近線方程是本題的關鍵，正確地表示出
△P1OP2的面積是學生感到困難的.
技巧與方法：利用點P在曲線上和△P1OP2的面積建立關于參數a、b的兩個方程，從而求出a、b的值.
解：以O為原點，∠P1OP2的角平分線為x軸建立如圖所示的直角坐標系.
設雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0)
由e2=
，得
.
∴兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=
x和y=－x
設點P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),則由點P分
所成的比λ=
=2,得P點坐標為(
),又點P在雙曲線
=1上，所以
=1,
即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①
即x1x2= 
②
由①、②得a2=4,b2=9
故雙曲線方程為
=1.
●錦囊妙計
一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟.
定形――指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置.
定式――根據“形”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).
定量――由題設中的條件找到“式”中特定系數的等量關系，通過解方程得到量的大小.
●殲滅難點訓練
2009年高考數學難點突破專題輔導二十二
難點22 軌跡方程的求法
求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.
●難點磁場
(★★★★)已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數λ,求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.
●案例探究
［例1］如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.
命題意圖：本題主要考查利用“相關點代入法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級題目.
知識依托：利用平面幾何的基本知識和兩點間的距離公式建立線段AB中點的軌跡方程.
錯解分析：欲求Q的軌跡方程，應先求R的軌跡方程，若學生思考不深刻，發現不了問題的實質，很難解決此題.
技巧與方法：對某些較復雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程.
解：設AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)
又|AR|=|PR|=
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0
因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動.
設Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=
,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
－10=0
整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.
［例2］設點A和B為拋物線 y2=4px(p＞0)上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.(2000年北京、安徽春招)
命題意圖：本題主要考查“參數法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級題目.
知識依托：直線與拋物線的位置關系.
錯解分析：當設A、B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)時，注意對“x1=x2”的討論.
技巧與方法：將動點的坐標x、y用其他相關的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關于x、y的關系.
解法一：設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依題意，有
①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)
若x1≠x2,則有
⑥
①×②,得y12?y22=16p2x1x2
③代入上式有y1y2=－16p2 ⑦
⑥代入④，得
⑧
⑥代入⑤，得
所以
即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2
⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)
當x1=x2時，AB⊥x軸，易得M(4p,0)仍滿足方程.
故點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點.
解法二：設M(x,y)，直線AB的方程為y=kx+b
由OM⊥AB，得k=－
由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0
所以x1x2=
,消x,得ky2－4py+4pb=0
所以y1y2=
，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2
所以
=－,b=－4kp
故y=kx+b=k(x－4p),用k=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)
故動點M的軌跡方程為x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點.
［例3］某檢驗員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？
命題意圖：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實際問題轉化為數學問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點.
錯解分析：正確理解題意及正確地將此實際問題轉化為數學問題是順利解答此題的關鍵.
技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當的坐標系，找到動圓圓心的軌跡方程.
解：設直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內切，與⊙A、⊙B相外切.
建立如圖所示的坐標系，并設⊙P的半徑為r,則
|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5
∴點P在以A、O為焦點，長軸長2.5的橢圓上，其方程為
=1
①
同理P也在以O、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為
(x－
)2+
y2=1
②
由①、②可解得
，∴r=
故所求圓柱的直徑為
cm.
●錦囊妙計
求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數法.
(1)直接法 直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程.
(2)定義法 若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.
(3)相關點法 根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程.
(4)參數法 若動點的坐標(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數，建立軌跡的參數方程.
求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念.
●殲滅難點訓練
2009年高考數學難點突破專題輔導二十一
難點21 直線方程及其應用
直線是最簡單的幾何圖形，是解析幾何最基礎的部分，本章的基本概念；基本公式；直線方程的各種形式以及兩直線平行、垂直、重合的判定都是解析幾何重要的基礎內容.應達到熟練掌握、靈活運用的程度，線性規劃是直線方程一個方面的應用，屬教材新增內容，高考中單純的直線方程問題不難，但將直線方程與其他知識綜合的問題是學生比較棘手的.
●難點磁場
(★★★★★)已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求證：abc+2＞a+b+c.
●案例探究
［例1］某校一年級為配合素質教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽室，為節約經費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框對桌面的傾斜角為α(90°≤α＜180°)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m,b m,(a＞b).問學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？
命題意圖：本題是一個非常實際的數學問題，它不僅考查了直線的有關概念以及對三角知識的綜合運用，而且更重要的是考查了把實際問題轉化為數學問題的能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：三角函數的定義，兩點連線的斜率公式，不等式法求最值.
錯解分析：解決本題有幾處至關重要，一是建立恰當的坐標系，使問題轉化成解析幾何問題求解；二是把問題進一步轉化成求tanACB的最大值.如果坐標系選擇不當，或選擇求sinACB的最大值.都將使問題變得復雜起來.
技巧與方法：欲使看畫的效果最佳，應使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一個三角函數值.
解：建立如圖所示的直角坐標系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點C(x,0)(x＞0),欲使看畫的效果最佳，應使∠ACB取得最大值.
由三角函數的定義知：A、B兩點坐標分別為(acosα,asinα)、
(bcosα,bsinα),于是直線AC、BC的斜率分別為：
kAC=tanxCA=
,
于是tanACB=
由于∠ACB為銳角，且x＞0,則tanACB≤
,當且僅當
=x，即x=
時，等號成立，此時∠ACB取最大值，對應的點為C(,0),因此，學生距離鏡框下緣
cm處時，視角最大，即看畫效果最佳.
［例2］預算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數盡可能的多，但椅子不少于桌子數，且不多于桌子數的1.5倍，問桌、椅各買多少才行？
命題意圖：利用線性規劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用，本題主要考查找出約束條件與目標函數、準確地描畫可行域，再利用圖形直觀求得滿足題設的最優解，屬★★★★★級題目.
知識依托：約束條件，目標函數，可行域，最優解.
錯解分析：解題中應當注意到問題中的桌、椅張數應是自然數這個隱含條件，若從圖形直觀上得出的最優解不滿足題設時，應作出相應地調整，直至滿足題設.
技巧與方法：先設出桌、椅的變數后，目標函數即為這兩個變數之和，再由此在可行域內求出最優解.
解：設桌椅分別買x,y張，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件
為
由
∴A點的坐標為(
，)
由
∴B點的坐標為(25，
)
所以滿足約束條件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)為頂點的三角形區域(如右圖)
由圖形直觀可知，目標函數z=x+y在可行域內的最優解為(25，)，但注意到x∈N,y∈N*,故取y=37.
故有買桌子25張，椅子37張是最好選擇.
［例3］拋物線有光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p＞0).一光源在點M(
,4)處，由其發出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x－4y－17=0上的點N，再折射后又射回點M(如下圖所示)
(1)設P、Q兩點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明：y1?y2=－p2；
(2)求拋物線的方程；
(3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由.
命題意圖：對稱問題是直線方程的又一個重要應用.本題是一道與物理中的光學知識相結合的綜合性題目，考查了學生理解問題、分析問題、解決問題的能力，屬★★★★★★級題目.
知識依托：韋達定理，點關于直線對稱，直線關于直線對稱，直線的點斜式方程，兩點式方程.
錯解分析：在證明第(1)問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時.
技巧與方法：點關于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關鍵.
(1)證明：由拋物線的光學性質及題意知
光線PQ必過拋物線的焦點F(
，0)，
設直線PQ的方程為y=k(x－)
①
由①式得x=
y+,將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2－
y－p2=0,由韋達定理，y1y2=－p2.
當直線PQ的斜率角為90°時，將x=代入拋物線方程，得y=±p,同樣得到y1?y2=
－p2.
(2)解：因為光線QN經直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關于直線l對稱，設點M(，4)關于l的對稱點為M′(x′,y′)，則
解得
直線QN的方程為y=－1,Q點的縱坐標y2=－1，
由題設P點的縱坐標y1=4，且由(1)知：y1?y2=－p2,則4?(－1)=－p2,
得p=2,故所求拋物線方程為y2=4x.
(3)解：將y=4代入y2=4x,得x=4，故P點坐標為(4，4)
將y=－1代入直線l的方程為2x－4y－17=0,得x=
,
故N點坐標為(，－1)
由P、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y－12=0,
設M點關于直線NP的對稱點M1(x1,y1)
又M1(
,－1)的坐標是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(，－1)與點M關于直線PN對稱.
●錦囊妙計
1.對直線方程中的基本概念，要重點掌握好直線方程的特征值(主要指斜率、截距)等問題；直線平行和垂直的條件；與距離有關的問題等.
2.對稱問題是直線方程的一個重要應用，中學里面所涉及到的對稱一般都可轉化為點關于點或點關于直線的對稱.中點坐標公式和兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具.
3.線性規劃是直線方程的又一應用.線性規劃中的可行域，實際上是二元一次不等式(組)表示的平面區域.求線性目標函數z=ax+by的最大值或最小值時，設t=ax+by,則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優解.
4.由于一次函數的圖象是一條直線，因此有關函數、數列、不等式、復數等代數問題往往借助直線方程進行，考查學生的綜合能力及創新能力.
●殲滅難點訓練
2009年高考數學難點突破專題輔導十九
難點19 解不等式
不等式在生產實踐和相關學科的學習中應用廣泛，又是學習高等數學的重要工具，所以不等式是高考數學命題的重點，解不等式的應用非常廣泛，如求函數的定義域、值域，求參數的取值范圍等，高考試題中對于解不等式要求較高，往往與函數概念，特別是二次函數、指數函數、對數函數等有關概念和性質密切聯系，應重視；從歷年高考題目看，關于解不等式的內容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的則是間接考查解不等式.
●難點磁場
(★★★★)解關于x的不等式
＞1(a≠1).
●案例探究
［例1］已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0時
＞0.
(1)用定義證明f(x)在［－1，1］上是增函數；
(2)解不等式：f(x+
)＜f(
)；
(3)若f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求實數t的取值范圍.
命題意圖：本題是一道函數與不等式相結合的題目，考查學生的分析能力與化歸能力，屬★★★★★級題目.
知識依托：本題主要涉及函數的單調性與奇偶性，而單調性貫穿始終，把所求問題分解轉化，是函數中的熱點問題；問題的要求的都是變量的取值范圍，不等式的思想起到了關鍵作用.
錯解分析：(2)問中利用單調性轉化為不等式時，x+∈［－1，1］，∈［－1，1］必不可少，這恰好是容易忽略的地方.
技巧與方法：(1)問單調性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關鍵，(3)問利用單調性把f(x)轉化成“1”是點睛之筆.
(1)證明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，則f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=
?(x1－x2)
∵－1≤x1＜x2≤1，
∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又
x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上為增函數.
(2)解：∵f(x)在［－1，1］上為增函數，
∴
解得：{x|－
≤x＜－1，x∈R}
(3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上為增函數，且f(1)=1，故對x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1對所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，記g(a)=t2－2at，對a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2.∴t的取值范圍是：{t|t≤－2或t=0或t≥2}.
［例2］設不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M
［1，4］，求實數a的取值
范圍.
命題意圖：考查二次不等式的解與系數的關系及集合與集合之間的關系，屬★★★★級題目.
知識依托：本題主要涉及一元二次不等式根與系數的關系及集合與集合之間的關系，以及分類討論的數學思想.
錯解分析：M=
是符合題設條件的情況之一，出發點是集合之間的關系考慮是否全面，易遺漏；構造關于a的不等式要全面、合理，易出錯.
技巧與方法：該題實質上是二次函數的區間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數之間的內在聯系是關鍵所在；數形結合的思想使題目更加明朗.
解：M［1，4］有n種情況：其一是M=，此時Δ＜0；其二是M≠，此時Δ＞0，分三種情況計算a的取值范圍.
設f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－
(1)當Δ＜0時，－1＜a＜2，M=
［1，4］
(2)當Δ=0時，a=－1或2.當a=－1時M={－1}?［1，4］；當a=2時，m={2}［1，4］.
(3)當Δ＞0時，a＜－1或a＞2.設方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M［1，4］
1≤x1＜x2≤4
即
，解得：2＜a＜
，
∴M［1，4］時，a的取值范圍是(－1，).
●錦囊妙計
解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題：
(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法.
(2)掌握用序軸標根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.
(3)掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數和對數不等式的幾種基本類型的解法.
(4)掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法.
(5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉化為易解的不等式.
(6)對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論.
●殲滅難點訓練
高三數學二輪專題復習(解析幾何部分)
解析幾何部分是歷年高考的熱點與重點．從近幾年各地的高考試題分析，解析幾何題型一般是一道解答題，二到三道選擇題或填空題，分值在26分左右．選擇題和填空題考查直線、圓、圓錐曲線的基礎知識，解答題重點考查圓錐曲線中的重點知識，通過知識的重組與鏈接，使知識形成網絡，著重考查直線與圓錐曲線的位置關系，求解有時還要用到平面幾何知識和向量方法．下面將在重點分析2008年上海與新課標地區高考試題以及2009年浙江各地市聯考的基礎上對2009年高三第二輪專題復習解析幾何部分談談粗淺的認識與看法．限于水平與能力，若有不當之處，敬請各位專家、同行批評指正！
★
2009年河南省五市高三模擬考試
文科綜合能力測試
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至6頁，第II卷7至10頁。滿分300分。考試時間150分鐘。考試結束后答題卡和答題紙一并交回。
第I卷
注意事項：
1.答第I卷前，考生務必將自己的姓名、考號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。
2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。不能答在試卷上。
3.本卷共35小題，每小題4分，共140分。在每題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的。
保護生物多樣性非常重要。讀圖1，回答1-2題。
1.從圖中可以看出，野駱駝
①曾生活在暖溫帶落葉闊葉林區②分布范圍由亞熱帶季風區擴展至西北干旱區
③文獻記載區主要在溫帶草原區和溫帶荒漠區④目前主要分布在寧夏和內蒙古交界地區
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
2.影響野駱駝分布區變化的主要因素包括I
①草原開墾②過度放牧③大量捕殺④種群退化
A:①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③
表1是某年我國四個省（區）煤、鐵、石油、鹽產量占全國總產量比例（％）表。讀表回答3--4題。
3.表中①、②、③、④代表的礦產依次是
A.石油、鹽、煤、鐵B.鹽、石油、鐵、煤C.煤、鹽、鐵、石油D.鐵、煤、鹽、石油
4.表中的M省（區）可能是
A.山西 B.安徽 C.山東 D.新疆
圖2是亞洲東部某區域兩個時刻的等壓線圖（單位：百帕）。讀圖回答5-7題。
5在圖2甲中A處等壓線的數值可能為
A ．1004或1006 B．1006或
6.在圖2乙中，青島市的風向最可能是
A.西南風 B.偏北風 C.西北風 D.偏南風
7.在這6個小時中，風力明顯加大的是
A.臺灣島 B.北部灣 C.黃河口 D.遼東半島
圖3所示為臺灣省東北海岸“野柳公園”內著名的“女王頭”象形石，
其“玉頸”逐年變細，預計15年后將面臨“斷頭”危險。據此回答8-9題。
8.與“女王頭”獨特的地貌相對應的外力作用是
A.海水侵蝕、風化作用 B.風力侵蝕、流水堆積 C.化學溶蝕、風力沉積 D.地殼運動、風化作用
9.關于下列島嶼（圖4)的敘述，不正確的是
A.“女王頭”位于①島 B.②島東部有熱帶雨林景觀
C.③島為所在國熱帶作物基地 D.①、④島位于板塊生長邊界
由于地球運動及黃赤交角的存在，在全球不同的時空范圍內觀察到的太陽視運動軌跡有所不同。讀圖5(箭頭表示太陽視運動方向），回答10-11題。
10.觀測點a的地方時為21：00時，a點旗桿的影子指向的方向是
A.東北方向 B.西北方向 C.東南方向 D.西南方向
11．從觀測點a所處的季節分析，此時可能出現的地理現象是
A.黃河河套平原一帶出現凌汛B.北印度洋洋流呈順時針方向流動
C.非洲最南端的河流地下水補給河水D.華北平原播種冬小麥
12.圖6是國民黨副主席江丙坤2005年回鄉祭祖情景，中華民族這種認祖歸宗、祭拜祖先的文化習 俗最早可追溯到
A.夏商周時期 B.春秋戰國時期 C.秦漢時期 D.隋唐時期
13.西方學者認為，公元前6世紀一公元前3世紀是人類文明的“軸心時代”、 “人類意識”首次覺醒，理性思維所創造的精神文化決定著其后諸民族的文化走向。在當時的中國，最具典型意義的現象為
A.諸子并立，百家爭鳴 B.以法為教，焚書坑儒
C.罷默百家，獨尊儒術 D.崇儒尚佛，兼收并蓄
14.北京奧運會開幕式上，一幅巨大的地圖出現在觀眾面前，展現了中國古
老的“絲綢之路”（圖7）。漢代時，沿著海陸兩條“絲綢之路”，中華文明都可以傳播到的是
A.地中海沿岸 B.非洲沿岸 C.印度半島 D.波斯灣
15.朱元璋曾對其孫子朱允墳說：“吾治亂世，刑不得不重�！毕铝泻兔鞒酞z制度有關的表述正確的是
A.在地方由都指揮使司掌管司法權力
B.明太祖時期制定的《大明律》量刑一切從重
C.錦衣衛掌管緝捕、刑獄之事，監視、偵察官民的不法行為
D.先后設立受政府司法部門管轄的東廠、西廠特務機構，由宦官統領
16.帝王的年號紀年是我國古代常用的紀年方法，下列歷史文化名詞中不涉及帝王年號的是
A.建安文學 B.開元通寶 C.康乾盛世 D.紹興和議
17.在近代史上列強強迫中國政府簽訂了一系列喪權辱國的不平等條約，給
中華民族帶來沉重災難，下列條約都直接促使圖8現象出現的是
A.《南京條約》、《望廈條約》、《天津條約》、《暖揮條約》
B．《望廈條約》、《黃埔條約》、《天津條約》、《北京條約》
C．《南京條約》、《北京條約》、《馬關條約》、《辛丑條約》
D.《虎門條約》、《黃埔條約》、《馬關條約》、《辛丑條約》
18.1919年，北京學生發表宣言，“山東亡，是中國亡矣。我同胞處
此大地，有此山河，豈能目睹此強暴之欺凌我，壓迫我，牛馬我，
而不作萬死一生之呼救乎”。下列對此理解正確的是
①反映了五四運動爆發的直接原因②體現了中華民族意識的蘇醒
③說明愛國主義是五四運動的主旋律④表明中國無產階級己經登上歷史舞臺
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③
19.中共一向重視三農問題，下列關于1931年土地革命、1947年土地改革和1950年土地改革這三次土地政策調整的說法正確的是
A.土地都歸農民個體所有，可以自由買賣
B.土地都歸集體所有，農民經營，不畝以買賣
C. 1950年土地改革與前兩次不同，土地歸國家所有，農民可以使用，不得買賣
D.土地都由農民個體經營，農民必須得到國家允許才能自由買賣
20.新中國成立后，中共中央認真貫徹落實了七屆二中全會上關于黨風建設的指導思想，開局良好。
其中在反腐倡廉方面的重要舉措是
A.鎮壓反革命B.“三反”運動C.“五反”運動D.沒收官僚資本
21．今天津渤海化工有限公司天津堿廠發展簡歷：
1917年永利堿廠成立，企業家范旭東與王小徐等實驗制堿成功
1920年永利制堿公司“紅三角”牌商標，經商標局核準發給注冊證證號，1926年“紅三角”牌
純堿，在美國費城舉辦的萬國博覽會上獲金質獎章
1955年永利堿廠、久大精鹽廠合并，改稱“公司合營永利久大化學工業公司沽廠”……
以上材料顯示出的信息有
①企業為民族工業爭得了國際榮譽 ②企業注重維護品牌權益
③企業經歷了社會主義改造 ④該企業至今仍為現代化建設服務
A. ①②③④. B.①③④ C.②③④ D.①②③
22.在香港回歸10周年的日子里，《香港商報》發表了題為《十載不凡路，香江書華章》的社評。其中有這樣的評論：“如果說十年前無論是國際社會，還是在香港本地，都有不少人對‘一國兩制’、港人治港心存懷疑，今天，所有的疑慮都已經煙消云散了……”給該評論加一個適當的標題是
A.“一國兩制”的實踐日益豐富 B.“一國兩制”―走向中華民族的偉大復興
C.“一國兩制”能夠解決臺灣問題D.“一國兩制”―香港繁榮穩定的制度
23.《海國圖志》記載：“（某國）都城有公會所，內分兩所，一日爵房，一日鄉紳房。爵房者，有爵位貴
人及耶穌教師處之；鄉紳房者，由庶民推擇有才識學術者處之。國有大事，王諭相，相告之爵房，
聚眾公議，參以條例，決其可否，輾轉告鄉紳房，必鄉紳大眾允諾而后行，否則寢其事勿論�！边@
段文字描述的制度最有可能是
A.英國的君主立憲制度 B.法國的共和制 C.美國的兩黨制 D.德國的君主立憲制
24.假如國際市場上某商品的單價從60美元漲到90美元，同期人民幣對美元的匯率從8：1變為7：1。在不考慮其它因素的前提下，如果用人民幣購買該商品，該商品價格
A.約降了14.3% B.漲了31．25% C.約漲了14.3% D.漲了50%
25.表2為某省2010年節能減排的主要目標
下列有利于實現上述目標的措施有
①關閉化工企業，發展朝陽產業 ②開發推廣節約和治污的先進實用技術
③推動區域協調發展，縮小區域發展差距 ④堅決貫徹《循環經濟促進法》，提高資源利用率
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
26.
全承諾書，表示今后要用實際行動營造一個干干凈凈的乳制品市場，讓全國消費者放心。這些
企業之所以對奶制品的質量安全作出承諾，是因為
A.商品的質量決定著商品的價格 B.商品的質量決定著企業盈利與發展
C.公開的承諾有利于企業科技的進步 D.企業的信譽和形象關系到企業的成敗
27.1979年元旦，全國人大常委會發表的《告臺灣同胞書》首次明確提出海峽兩岸盡快實現通郵、通航、通商的“三通”構想，
A.意識能夠促進事物的發展 B.新事物必將戰勝舊事物
C.要堅持適度原則 D.事物的發展是前進性和曲折性的統一
大雁飛在天上，要有一只領頭雁。領頭雁不能飛得太快，脫離雁陣，否則就起不到領頭雁的作用了；也不能飛得太慢，混在雁陣里，那樣也會失去領頭雁的作用。據此回答28-29題。
28．大雁飛在天上，要有一只領頭雁。從哲學上看，領頭雁的存在和發展
①決定著事物發展的方向和進程②有利于區分一事物和他事物
③影響著事物全局的發展④決定著事物的性質
A.①③ B.①④ C.②③ D.③④
29.2008年感動中國人物經大忠就是“一只領頭雁”。在漢川地震發生的瞬時，作為北川縣縣長的
他不顧個人安危，帶領北川縣黨員干部為群眾尋找到一條逃生的“生命之路”。正如“頒獎詞”
中所言：“他和同志們雙肩擔起一城信心，萬千生命。心系百姓忠于職守，凸顯共產黨人的本
色。”經大忠這只“領頭雁”的行為集中體現了
①中國共產黨的性質和宗旨 ②中國共產黨領導的多黨合作制度
③中國共產黨員的先鋒模范作用 ④政府對人民負責的原則
A.①②④ B.①②③ C.②③④ D. ①②③
30.中國特色社會主義理論體系，就是包括鄧小平理論、“三個代表”重要思想以及科學發展觀等重大戰略思想在內的科學理論體系。它凝結了幾代中國共產黨人帶領人民不懈探索實踐的智慧和心血，是馬克思主義中國化最新成果，是全國各族人民團結奮斗的共同思想基礎，是我國經濟社會發展的重要指導方針。材料體現的歷史唯物主義觀點是
A.整體與部分的辯證關系 B.實踐是認識的來源和發展動力
C.正確的社會意識對社會存在有指導作用 D.矛盾普遍性與矛盾特殊性的辯證關系
31．中人的才干不僅要靠讀書求學增長，而且要靠實踐磨練積累。”下面與這句話蘊涵的哲學道理相同的是
A.道雖邇，不行不至；事雖小，不為不成 B.學而不思則閣，思而不學則怠
C.讀萬卷書，行萬里路 D.紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行
32.由上題材料可知，選聘高校畢業生到村任職
①主要是黨和國家為緩解大學生就業壓力而實施的積極措施
②是黨實現其領導，培養中國特色社會主義事業接班人的戰略決策
③為建設社會主義新農村提供了人才一保證
④是青年學生了解農村，培養與人民群眾感情的根本途徑
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
33.2009年2月，澳大利亞向英國女王贈送的金馬車完工。下列關于英澳兩國國體、政體、政黨制度、國家結構形式說法正確的是
A.兩國國體、政體相同，政黨制度、國家結構形式不同
B.兩國國體、國家結構形式相同，政體、政黨制度不同
C.兩國國體不同，政體、政黨制度、國家結構形式相同
D.兩國國體、政體、政黨制度相同，國家結構形式不同
34.在國內外經濟環境發生重大變化的背景下，
①科學執政②民主執政③依法執政④依法行政
A.①② B.②③ C．③④ D.②④
35.為了保護中國航經亞丁灣、索馬里海域的船舶與人員以及世界糧食計劃署等國際組織運送人道主義物資船舶的安全，
①中國在維護亞丁灣、索馬里海域的和平與安寧中的領導作用
②中國人民解放軍維護國際與地區和平、安全的積極態度
③中國政府以人為本、執政為民的理念和捍衛國家利益的堅定意志
④中國積極履行國際義務的負責任的大國形象
A.①②③ B. ②③④ C.①②④ D.①③④
★
2009年河南省五市高三模擬考試
文科綜合能力測試
第II卷（非選擇題，共160分）
36.（36分）閱讀下列材料，回答問題：
材料一：河南省地勢西高東低，平原多分布在京廣鐵路以東，山地、丘陵主要分布在豫西北、豫西和豫南一帶。河南是農業大省，2008年糧食產量再超1000億斤，連續九年居全國第一；小麥、玉米、煙葉、豆類、芝麻等農產品和肉類、禽蛋等畜產品產量都居全國前列。
材料二：河南省一月平均氣溫分布圖（單位：℃）（圖9）。
材料三：隨著河南農村經濟的發展，許多村民多在交通沿線新建住宅，造成原村莊內許多住宅閑置，出現村莊“空心化”現象。
（1)讀材料二，描述
(2)目前鄭州已經發展成為全國最大的速凍食品生產基地，試分析其主要原因。（8分）
(3)河南省高速公路四通八達，目前通車里程居全國第一位，試分析其對河南社會經濟發展的影響。（8分）
（4)簡析農村村莊“空心化”現象對當地農業發展的不利影響及其解決措施。（8分）
37.（32分）閱讀下列材料，回答問題：
材料一：大化元年（645年）新政權確立了完備的國家政治體制，在中央設立了掌管國家祭祀的神襖官和掌管行政的太政官兩機構，太政官下設大藏、刑部等八省，在地方設置各級機構，把地方置于中央控制之下�！幹茟艏⒂嫀ぃㄒ幎ㄙx役的登記），行班田收授之法，統定班給人民土地和應負擔租賦的數額。廢舊交納制，實行新稅法。
―岳麓版高中歷史教材選修①
材料二：在日本文明開化過程中，外來文化和民族文化發生碰撞，日本人對此表現了不同的態度。
①“倘若敲一敲假洋鬼子的頭，便可以聽到文明開化的聲音”；
②“使用瓦斯燈會亡國”；
③“日本落后是因為日本人種低劣，必須改良日本人種”；
④明治政府為了表明日本已經文明開化以換取歐美同意廢除不平等條約，推行歐化主義，
修建了豪華的歐式俱樂部，舉辦有首相、大臣出席的化裝舞會，招待歐美高級官員，徹夜狂歡。
―岳麓版高中歷史教材選修①
材料三：臣竊聞東西各國之強，皆以立憲法、開國會之故。國會者，君與國民共議一國之政法也。
―康有為《請定立憲開國會折》
今者由平民革命以建國民政府，凡為國民皆平等以有參政權。大總統由國民公舉。議會以
國民公舉之議員構成之，制定中華民國憲法，人人共守。
―《孫中山全集》第一卷
1918年，李大釗發表《法俄革命之比較觀》，贊譽俄國革命為“世界的新文明之曙光”和“世
界的新潮流”，并且預言20世紀的文明將以俄國革命為契機而發生巨變。
―許紀霖、陳達凱主編《中國現代化史》第一卷
(1）依據材料一分析日本大化改新學習了哪些唐朝律令制度。(6分）
(2）分析材料二中反映出的對待外來文化和民族文化的各種態度，（8分）結合材料談談我們應如何正確對待外來文化和民族文化。（4分）
(3）新航路開辟以后，世界各地區各民方契之間經濟文化交流日益頻繁。結合所學知識指出明清時期（鴉片戰爭前）中國在吸收外來文明方面有哪些表現？（4分）
(4)依據材料三，概括近代中國在學習西方文明方面的突出特點。（4分）
(5）依據上述材料，并結合所學知識，分析中國明清時期（鴉片戰爭前）與近代前期在吸收外來文明方面的不同點。（4分）日本在吸收外來文明方面與中國相比有什么特點？（2分）
38.（32分）閱讀下列材料，回答問題：
材料一：上世紀80年代中期以來，由于家庭分散經營，我國農業生產效益不高，廣大農村勞動力向城市、城鎮、經濟發達地區轉移，農村土地出現荒廢、閑置的現象。黨的十七屆三中全會通過的《中共中央關于推進農村改革發展若干重大問題的決定》中提出：在堅持家庭聯產承包責任制的基礎上，要加強土地承包經營權流轉，允許農民以轉包、出租、互換、轉讓、股份合作等形式流轉土地承包經營權。
材料二：2008年以來，受金融危機影響，全國大約有2000萬農民工失業返鄉，嚴重影響農民增收和農村經濟可持續發展。為此，各級政府采取了一系列措施，江西省為支持農民工返鄉創業，從金融、公共服務等多個方面加大了扶持力度，對自主創業的返鄉農民工提供5萬元以內的小額擔保貨款等優惠措施。重慶返鄉農民工慕澤華在政府“陽光工程”的幫助下，正免費在鎮上職業學校學習計算機。2009年2月底在桃源縣政府的組織下首批200名出國務工人員將啟程奔赴阿爾及利亞參與中建五局阿爾及利亞5500套住宅工程的建筑工作。
（1）結合材料一，運用經濟常識，分析我國加強農村土地流轉的意義。（12分）
（2）結合材料一，說明黨的決策是如何做到實事求是的？（8分）
（3)結合材料二，分析政府在促進返鄉農民工就業中是怎樣行使國家職能的？（12分）
39.（60分）閱讀下列材料，回答問題：
材料一：兩島嶼圖（圖10)。
材料二：起源于美國的金融風暴襲擊歐洲，影響全球。目前甲島（圖10所示）所在國人a約32萬，人均負債43.2萬美元。
（1)甲島名稱為＿。金融危機造成該島所在國糧食供應更加緊張，簡析其糧食不足的自然原因。（8分）
(2)乙島位于甲島的＿方向；按島嶼成因劃分，乙島應屬于＿島。試分析乙島降水分布的特點及其成因。（10分）
（3)從產業結構的地域差異分析，我國受金融危機影響最大的地區是 (2分）
A.東北地區 B.中部地區 C.環渤海地區 D.東南沿海地區
材料三：1933年羅斯福發布農業調整法，強制農民減少耕地面積和牲畜繁殖，以提高農產品的價格，解決農副產品的過剩問題。國家對縮減耕地和降低牲畜繁殖的人進行補貼，后來政府還對各州，各區甚至很多大農場規定農場品的生產定額，時超過國家規定生產定額的產品課以重稅……
1930年5月，美國國會通過法案，把890種主要商品的進口關稅平均提高近40%，由此引發了一場關稅大戰�！�
材料四：
(4)依據材料三歸納羅斯福新政在農業方面的主要措施和目的，并說明美國是從哪些方面擺脫危機的。（11分）
（5)依據材料四，并聯系所學知識，分析面對新的經濟危機，世界各主要國家和經濟實體采取的措施與1929-1933年經濟危機爆發后采取的措施相比發生的變化。為什么會發生這樣的變化？（9分）
材料五：
（6)用經濟常識的相關知識說明應對全球性危機，各國為什么要加強合作？（11分）
(7）材料五是如何體現聯系的觀點的？（9分）
2009年河南省五市高中畢業班第一次聯考
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