已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=2ⁿ（n∈N^*），b_n=3a_n．
（1）試證數列{an-

1

3

×2n}是等比數列，并求數列{b_n}的通項公式．
（2）在數列{b_n}中，是否存在連續三項成等差數列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，說明理由．
（3）①試證在數列{b_n}中，一定存在滿足條件1＜r＜s的正整數r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差數列；并求出正整數r，s之間的關系．
②在數列{b_n}中，是否存在滿足條件1＜r＜s＜t的正整數r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數列？若存在，確定正整數r，s，t之間的關系；若不存在，說明理由．