（本小題14分）在數列中，=0，且對任意k，成等差數列，其公差為2k. （Ⅰ）證明成等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式；                
（Ⅲ）記.  證明: 當為偶數時, 有.

（本小題14分）在數列中，=0，且對任意k，成等差數列，其公差為2k.  （Ⅰ）證明成等比數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；                

（Ⅲ）記.   證明:  當為偶數時, 有.

已知數列具有性質：①為整數；②對于任意的正整數，當為偶數時，

；當為奇數時，.

（1）若為偶數，且成等差數列，求的值；

（2）設(且N)，數列的前項和為，求證：；

（3）若為正整數，求證：當(N)時，都有.

已知數列具有性質：①為整數；②對于任意的正整數，當為偶數時，；當為奇數時，.

（1）若為偶數，且成等差數列，求的值；

（2）設(且N)，數列的前項和為，求證：；

（3）若為正整數，求證：當(N)時，都有.

已知是公差為d的等差數列，是公比為q的等比數列

（Ⅰ）若 ，是否存在，有？請說明理由；

（Ⅱ）若（a、q為常數，且aq0）對任意m存在k，有，試求a、q滿足的充要條件；

（Ⅲ）若試確定所有的p,使數列中存在某個連續p項的和式數列中的一項，請證明.

【解析】第一問中，由得，整理后，可得、，為整數不存在、，使等式成立。

（2）中當時，則

即，其中是大于等于的整數

反之當時，其中是大于等于的整數，則，

顯然，其中

、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數

（3）中設當為偶數時，式左邊為偶數，右邊為奇數，

當為偶數時，式不成立。由式得，整理

當時，符合題意。當，為奇數時，

結合二項式定理得到結論。

解（1）由得，整理后，可得、，為整數不存在、，使等式成立。

（2）當時，則即，其中是大于等于的整數反之當時，其中是大于等于的整數，則，

顯然，其中

、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數

（3）設當為偶數時，式左邊為偶數，右邊為奇數，

當為偶數時，式不成立。由式得，整理

當時，符合題意。當，為奇數時，

   由，得

當為奇數時，此時，一定有和使上式一定成立。當為奇數時，命題都成立