定義：若數列滿足，則稱數列為“平方數列”。已知數列 中，，點在函數的圖像上，其中為正整數。

⑴證明：數列是“平方數列”，且數列為等比數列。

⑵設⑴中“平方數列”的前項之積為，即，求數列的通項及關于的表達式。

⑶記，求數列的前項之和，并求使的的最小值。

由函數確定數列，，函數的反函數能確定數列，，若對于任意，都有，則稱數列是數列的“自反數列”。

(1)若函數確定數列的自反數列為，求的通項公式；

(2)在(1)條件下，記為正數數列的調和平均數，若，

為數列的前項和，為數列的調和平均數，求；

(3)已知正數數列的前項之和。求的表達式。

已知公比為的無窮等比數列各項的和為9，無窮等比數列各項的和為。

（1）求數列的首項和公比；

（2）對給定的，設是首項為，公差為的等差數列，求的前2007項之和；

（3）（理）設為數列的第項，：

①求的表達式，并求出取最大值時的值。

②求正整數，使得存在且不等于零。

（文）設為數列的第項，：求的表達式，并求正整數，使得存在且不等于零。

定義：若數列滿足，則稱數列為“平方遞推數列”。已知數列中，，點在函數的圖像上，其中為正整數。

  （1）證明：數列是“平方遞推數列”，且數列為等比數列。

  （2）設（1）中“平方遞推數列”的前項之積為，即，求數列的通項及關于的表達式。

（3）記，求數列的前項之和，并求使的的最小值。