解法二：

建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，

   （I）證明：

連接A₁B，設A₁B∩AB₁ = E，連接DE.

設A₁A = AB = 1，

則

 …………………………3分

，

 ……………………………………4分

   （II）解：， ，

設是平面AB₁D的法向量，則，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是 ……………………6分

設二面角B―AB₁―D的大小為θ，，

∴二面角B―AB₁―D的大小為 …………………………8分

   （III）解由（II）得平面AB₁D的法向量為，

取其單位法向量

∴點C到平面AB₁D的距離 ……………………12分

19、【解】（1）設袋中原有n個白球，由題意知：

．

∴，解得或（舍去），即袋中原有3個白球．……4分

（2）由題意，的可能取值為1，2，3，4，5，

，，，

，．

所以，取球次數的分布列為：

1

2

3

4

5

P

……8分

（3）因為甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，記“甲取到

白球”的事件為A，則，

因為事件兩兩互斥，所以

．……12分

20、【解】（1）設，則，∴，

又為奇函數，

∴函數的解析式為    ……4分

（II）假設存在實數a符合題意，先求導，

①當a≥時，由于．則≥0．

∴函數是上的增函數，

∴，則（舍去）．……8分

②當時，≤≤；

．則

在上遞減，在上遞增，

∴，解得，

綜合（1）（2）可知存在實數，使得當時，有最小值3．12分

21【解】（1）當n≥2時，，整理得，

∴{a_n}是公比為a的等比數列．……4分

（2） ，．

（i）當a＝2時，，，

兩式相減得．

∴．……8分

（ii），∴n為偶數時，，n為奇數時，，若存在滿足條件的正整數m，則m為偶數．

（），當時，，

∴，又，

當時，，即；

當時，，即．

故存在正整數m＝8，使得對任意正整數n都有≥．……12分

22、【解】（1）證明：由g(x)=′(x)=

      由xf′（x）＞f(x)可知：g′(x) ＞0在x＞0上恒成立.

      從而g(x)= ………………………………4分

  （2）由（1）知g(x)=

      在x₁＞0,x₂＞0時， 

于是＜

兩式相加得到：f(x₁)+f(x₂)＜f(x₁+x₂) …………………………………………8分

（3）由（2）中可知：

g(x)=

   由數學歸納法可知：x_i＞0(i=1,2,3,…,n)時,

有f(x₁)+f(x₂)+f(x₃)+… +f(x_n)＜f(x₁+x₂+x₃+…+x_n) (n≥2)恒成立. ……………10分

設f(x)=xlnx，則在x_i＞0(i=1,2,3,…,n)時

有x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜(x₁+x₂+…+x_n)ln(x₁+x₂+…+x_n)（n≥2）……（*）恒成立.

令…+=…+

 由＜…+

＞…+ ………………………………12分

(x₁+x₂+…+x_n)ln(x₁+x₂+…+x_n)<(x₁+x₂+…+x_n)ln(1-…+x_n)

(∵ln(1+x)＜x) ＜-   (**)………………………13分

由（**）代入（*）中，可知：

…+

于是：…+…………………14分