小明在調查某班小學生每月的人均零花錢時，得到了下列一組數據：

小明選擇了模型y=x

1

2

，他的同學卻認為模型y=

2x

3

更合適．
（1）你認為誰選擇的模型較好？并簡單說明理由；
（2）試用你認為較好的數學模型來分析大約在幾月份小學生的平均零花錢會超過100元？
（參考數據lg2=0.3010，lg3=0.4771）

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為了迎接2009年10月1日建國60周年，某城市為舉辦的大型慶典活動準備了四種保證安全的方案，列表如下：

其中安全系數表示實施此方案能保證安全的系數，每種方案相互獨立，每種方案既可獨立用，又可以與其它方案合用，合用時，至少有一種方案就能保證整個活動的安全．
（1）若總經費在1200萬元內（含1200萬元），如何組合實施方案可以使安全系數最高？
（2）要保證安全系數不小于0.99，至少需要多少經費？

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說明：

    一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.

    二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.

    三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.

    四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分50分.

1. B   2. C    3. B   4.C   5.D    6.A   7. B   8. A    9. C   10. C

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分20分.

11. 1       12.      13. 2       14.         15. ①③

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16. 本題主要考查三角函數的倍角公式、兩角和公式等基本知識，考查學生的運算求解能

力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）因為，

         兩邊同時平方得

     .                      ………………………………………（4分）

     又，

     所以.              ………………………………………（6分）

       （Ⅱ）因為，，

             所以，得.

             又,知.             …………………（9分）

                  .              ………………………………………（13分）

17. 本題主要考查線線位置關系，二面角的求法等基本知識，考查空間想像能力，運算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

解：（Ⅰ）證明：連結，

側棱底面ABC，

，又.

平面.

又平面，

 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………（3分）

，

四邊形為正方形，

.

， 平面 .

又平面，. 　　　　　　　　…………（6分）

（Ⅱ）.

平面.

又， .

如圖，以為原點，建立空間直角坐標系-xyz，設AP=x，則

                、、、.

        　　    知面的一個法向量為，　　　　　      ……（9分）

設面的一個法向量為，

        　　     ， .

        　　   由   得

        　　   令， 　          ………（11分）

               依題意：=

               解得（不合題意，舍去），

    　         時，二面角的大小為. 　 …………（13分）

18．本題主要考查數列與不等式等基本知識，考查運用數學知識分析問題與解決問題的能力，

考查應用意識. 滿分13分.

    解：設第一年（今年）的汽車總量為，第n年的汽車總量為，則

，

…

.

數列構成的首項為80000，公差為2000的等差數列，

        .　　 ………………………（4分）

若洗車行A從今年開始經過n年可以收回購買凈化設備的成本. 則（）-20000n≥900000，………………………（8分）

        整理得，

        因為，所以　.

答：至少要經過6年才能收回成本.　…………………………………………（13分）

19．本題主要考查直線與拋物線的位置關系、等比數列求和等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力. 滿分13分

解：（Ⅰ）依題意得：，解得.

所以拋物線方程為 . ………………………………………………（3分）

（Ⅱ）若，即直線AB垂直于x軸，不防設，

             由又由拋物線對稱性可得：.

　　 又，得  ，故S_△ABD=.　　 …………………………（4分）

若，設直線AB方程：，

由方程組消去得：.（※）

依題意可知：.

由已知得，.  ……………………………………（5分）

由，得，

即，整理得.

所以 . 　　　 …………………………………………（6分）

中點，

所以點，

依題意知.　　

又因為方程（※）中判別式，得.

所以 ，又，

所以. 

又為常數，故的面積為定值.  …………………………………（9分）

（Ⅲ）依題意得：…，. 

故…

 ＜.  　　　　　………………………………（13分）

　　注：本題第（Ⅱ）問另解，參照本標準給分；第（Ⅲ）問若用定積分證明，同樣給分.

20. 本題主要考查函數的單調性、極值、最值、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數

性質的方法，考查分類與整合及化歸與轉化等數學思想. 滿分14分.

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域為.

當時， ，.

令，解得.

當時，；當時， .

又，

所以的極小值為，無極大值 . …………………………（3分）

（Ⅱ）

 . 　

令，解得.　　　　　…………………………（4分）

若，令，得；令，得 . 

若，

①當時，，

令，得或；

令，得.

②當時，.

③當時，得，

令，得或；

令，得.

綜上所述，當時，的遞減區間為，遞增區間為.　

當時，的遞減區間為；遞增區間為.

當時，遞減區間為.當時，的遞減區間為，遞增區間為.　 …………………………（9分）

（Ⅲ）當時，，

由，知時， . ， .

依題意得： 對一切正整數成立. 　……………（11分）

令 ，則（當且僅當時取等號）.

又在區間單調遞增，得，

故，又為正整數，得，

當時，存在，，

對所有滿足條件.

所以，正整數的最大值為32. 　　　　…………………………………（14分）

21. （1）本題主要考查矩陣乘法與變換等基本知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思

         想. 滿分7分.

         解：PQ＝，

             PQ矩陣表示的變換T：滿足條件

            .

　　        所以　　　　　　　　　　　　　　　………………………（3分）

　　         直線任取點，則點在直線上，

　　         故，又，得

　　         所以　　　　           ………………………………………（7分）

（2）本題主要考查直線極坐標方程和橢圓參數方程等基本知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想. 滿分7分.

        解：由題意知直線和橢圓方程可化為：

            ，               ①

            ．                ②　　　　　  …………………………（２分）

①②聯立，消去得：，解得，．

設直線與橢圓交于A、B兩點，則

　        ．

故所求的弦長為．　　　　      &n