(本題滿分12分)

某工廠在試驗階段大量生產一種零件。這種零件有、兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響。若有且僅有一項技術指標達標的概率為，至少一項技術指標達標的概率為．按質量檢驗規定：兩項技術指標都達標的零件為合格品.

（Ⅰ）求一個零件經過檢測為合格品的概率是多少？

（Ⅱ）任意依次抽出5個零件進行檢測，求其中至多3個零件是合格品的概率   是多少？

（Ⅲ）任意依次抽取該種零件4個，設表示其中合格品的個數，求與.

（本題滿分12分）有混在一起質地均勻且粗細相同的長分別為1、2、3的鋼管各3根（每根鋼管附有不同的編號），現隨意抽取4根（假設各鋼管被抽取的可能性是均等的），再將抽取的4根首尾相接焊成筆直的一根．

（1）若用ξ表示新焊成的鋼管的長度（焊接誤差不計）,試求隨機變量的分布列及；

（2）設的取值從小到大依次為數列是首項為1，公差為的等差數列，設，當時，求的值。

（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病.下面是兩種化驗方案：

方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止；

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗.若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗。

求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率。

（本小題滿分12分）自然狀態下的魚類是一種可再生的資源，為了持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響。用表示某魚群在第年初的總量，，且。不考慮其他因素，設在第年內魚群的繁殖量及被捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數依次為正數其中稱為捕撈強度。
（1）求與的關系式；
（2）設，為了保證對任意，都有，則捕撈強度的最大允許值是多少？證明你的結論。