電視中有一檔互動節目,觀眾參與后,幸運觀眾可以獲得一次抽獎機會,抽獎規則如下：在抽獎臺上有A、B、C三個抽獎箱,其中有且僅有一個抽獎箱中有獎品,如果觀眾選中有獎品的箱子,就可以獲得獎品；不過,當觀眾第一次選擇后(不妨假設觀眾選擇A箱),主持人會打開余下兩個箱子中的某一個(當然是沒有獎品的,不妨設主持人打開了C箱),然后告訴幸運觀眾可以改變自己的選擇,即可以放棄A箱而選擇B箱.一般情況下,觀眾認為：此時A與B有無獎品的概率都是二分之一,故一般都不改變選擇,這樣做合理嗎？如果你是那位幸運觀眾,你會做怎樣的選擇呢？

設橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上且異于兩點，為坐標原點.

（Ⅰ）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若，證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解：設點P的坐標為.由題意，有  ①

由，得，

由，可得，代入①并整理得

由于，故.于是，所以橢圓的離心率

（2）證明：（方法一）

依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.

由條件得消去并整理得  ②

由，及，

得.

整理得.而，于是，代入②，

整理得

由，故，因此.

所以.

(方法二)

依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.

由P在橢圓上，有

因為，，所以，即   ③

由，，得整理得.

于是，代入③，

整理得

解得，

所以.

 

對命題“a∥b∥c推出a∥c”，關于真假問題，甲、乙兩個學生的判斷如下:甲生判斷是真命題.理由是：由a∥b可知a與b的方向相同或相反,由b∥c可知c與b的方向相同或相反,從而有a與c的方向相同或相反,故a∥c,即原命題為真命題；乙生判斷是假命題.理由是：當兩個非零向量a,c不平行,而b=0時,顯然a∥b且b∥c,但不能推出a∥b∥c,故此時結論不成立,即原命題為假命題.究竟甲、乙兩生誰的判斷正確呢？請給以分析.

已知數列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設 (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結論。

解：(Ⅰ)當時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數學歸納法）①當時, ,命題成立;

   ②假設時,命題成立,即,

   則當時,

    即

即

故當時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

 

已知數列是首項為的等比數列，且滿足.

（1）   求常數的值和數列的通項公式；

（2）   若抽去數列中的第一項、第四項、第七項、……、第項、……，余下的項按原來的順序組成一個新的數列，試寫出數列的通項公式；

（3） 在（2）的條件下，設數列的前項和為.是否存在正整數，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數的值；若不存在，請說明理由.

【解析】第一問中解：由得，，

又因為存在常數p使得數列為等比數列，

則即，所以p=1

故數列為首項是2，公比為2的等比數列，即.

此時也滿足，則所求常數的值為1且

第二問中，解：由等比數列的性質得：

（i）當時，；

（ii） 當時，，

所以

第三問假設存在正整數n滿足條件，則，

則（i）當時，

，