已知函數y＝g(x)，x∈(－1＋m,1＋m)為奇函數，則函數f(x)＝x²＋mx＋5為________(填“奇函數”或“偶函數”)．

已知二次函數g（x）對任意實數x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令f(x)=g(x+

1

2

)+mlnx+

9

8

(m∈R，x＞0)．
（1）求g（x）的表達式；
（2）若?x＞0使f（x）≤0成立，求實數m的取值范圍；
（3）設1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，證明：對?x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

設b＞0，橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，拋物線方程為y=

1

8

x2+b，如圖所示，過點F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G，已知拋物線在點G處的切線經過橢圓的右焦點F₁．
（1）求點G和點F₁的坐標（用b表示）；
（2）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（3）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

已知二次函數g（x）的圖象經過坐標原點，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設函數f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m為非零常數
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）當-2＜m＜0時，判斷函數f（x）的單調性并且說明理由；
（3）證明：對任意的正整數n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

已知二次函數g（x）的圖象經過坐標原點，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設函數f（x）=m[g（x+1）-1]-lnx，其中m為常數且m≠0．
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）當-2＜m＜0時，判斷函數f（x）的單調性并且說明理由．