如果在（a，b）（a＜b）上的函數f（x），對于?x₁，x₂∈（a，b）都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]（x₁≠x₂），則稱f（x）在（a．b）上是凹函數，設f（x）在（a，b）上可導，其函數f′（x）在（a，b）上也可導，并記[f′（x）]′=f″（x）
（1）如果f（x）在（a，b）上f″（x）＞0，證明：f（x）在（a，b）上是凹函數
（2）若f（x）=（x²-2ax-a+a²）e^x-lnx，用（1）的結論證明：當a＜-2時f（x）在（0，+∞）上是凹函數．

如果函數f（x）=-x²+2ax在區間[1，2]上是減函數，那么實數a的取值范圍是a≤1a≤1．如果函數f（x）=-x²+2ax與函數g(x)=

a

x+1

在區間[1，2]上都是減函數，那么實數a的取值范圍是0＜a≤10＜a≤1．

已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區間[2，4]上的最大值為9，最小值為1，記f（x）=g（|x|）．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）定義在[p，q]上的函數φ（x），設p=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n-1=q，x₁，x₂，…，x_n-1將區間[p，q]任意劃分成n個小區間，如果存在一個常數M＞0，使得和式

n

i=1

|φ(xi)-φ(xi-1)|≤M恒成立，則稱函數φ（x）為在[p，q]上的有界變差函數．試判斷函數在[0，4]上f（x）是否為有界變差函數？若是，求M的最小值；若不是，請說明理由． （

n

i=1

f(xi)表示f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n））

已知函數f(x)=x-2a

x

在（0，1）上為減函數．
（1）討論f（x）的單調性（指出單調區間）；
（2）當a＞0時，如果f（x）在（0，1）上為減函數，g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函數，求實數a的值；
（3）當a=2時，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]內恒成立，求b的取值范圍．

已知函數f(x)=x-2a

x

在（0，1）上為減函數．
（1）討論f（x）的單調性（指出單調區間）；
（2）當a＞0時，如果f（x）在（0，1）上為減函數，g（x）=x²-2alnx在（1，2）上是增函數，求實數a的值；
（3）當a=2時，若g(x)≥2bx-

1

x2

在x∈(0，1]內恒成立，求b的取值范圍．