題目列表(包括答案和解析)
已知函數,
.
(Ⅰ)若函數依次在
處取到極值.求
的取值范圍;
(Ⅱ)若存在實數,使對任意的
,不等式
恒成立.求正整數
的最大值.
【解析】第一問中利用導數在在處取到極值點可知導數為零可以解得方程有三個不同的實數根來分析求解。
第二問中,利用存在實數,使對任意的
,不等式
恒成立轉化為
,恒成立,分離參數法求解得到范圍。
解:(1)
①
(2)不等式 ,即
,即
.
轉化為存在實數,使對任意的
,不等式
恒成立.
即不等式在
上恒成立.
即不等式在
上恒成立.
設,則.
設,則
,因為
,有
.
故在區間
上是減函數。又
故存在,使得
.
當時,有
,當
時,有
.
從而在區間
上遞增,在區間
上遞減.
又[來源:]
所以當時,恒有
;當
時,恒有
;
故使命題成立的正整數m的最大值為5
已知函數f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若過點A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數m的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問,利用函數f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中設切點為(x0,x03-3x0),因為過點A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數求導數,判定單調性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依題意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)設切點為(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切線過點A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)單調遞減,(0,2)單調遞增,(2,+∞)單調遞減.
∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2
畫出草圖知,當-6<m<2時,m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范圍是(-6,2).
已知函數.
(1)若f(x)在x=1和=3處取得極值,試求b、c的值;
(2)若f(x)在(-∞,x1)、(x2,+∞)上單調遞增,且在(x1,x2)上單調遞減,又滿足x2-x1>1,求證:b2>2(b+2c);
(3)在(2)的條件下,若t<x1,試比較t2+bt+c與x1的大小,并加以證明.
已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2與x=-1處分別取得極大值、極小值,又數列為等差數列,則
的值為________.
設函數,其中
.
(1)若,求
在
的最小值;
(2)如果在定義域內既有極大值又有極小值,求實數
的取值范圍;
(3)是否存在最小的正整數,使得當
時,不等式
恒成立.
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