題目列表(包括答案和解析)
已知函數。
(I)求函數的極值;
(II)對于曲線上的不同兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果存在曲線上的點Q(x0,y0), 且x1<x0<x2,使得曲線在點Q處的切線//P1P2,,則稱
為弦P1P2,的伴隨切線。
特別地,當x0 = x1 + (1-
)x2
(0<
<1)時,又稱
為弦P1P2,的
-伴隨切線。
(i)求證:曲線y=f(x)的任意一條弦均有伴隨切線,并且伴隨切線是唯一的;
(ii)是否存在曲線C,使得曲線C的任意一條弦均有-伴隨切線?若存在,給出一條這樣的曲線,并證明你的結論;若不存在,說明理由。
已知數列滿足
(I)求數列
的通項公式;
(II)若數列中
,前
項和為
,且
證明:
【解析】第一問中,利用,
∴數列{}是以首項a1+1,公比為2的等比數列,即
第二問中,
進一步得到得 即
即是等差數列.
然后結合公式求解。
解:(I) 解法二、,
∴數列{}是以首項a1+1,公比為2的等比數列,即
(II)
………②
由②可得: …………③
③-②,得 即
…………④
又由④可得 …………⑤
⑤-④得
即是等差數列.
已知函數f(x)=,
為常數。
(I)當=1時,求f(x)的單調區間;
(II)若函數f(x)在區間[1,2]上為單調函數,求的取值范圍。
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問中,利用當a=1時,f(x)=,則f(x)的定義域是
然后求導,
,得到由
,得0<x<1;由
,得x>1;得到單調區間。第二問函數f(x)在區間[1,2]上為單調函數,則
或
在區間[1,2]上恒成立,即即
,或
在區間[1,2]上恒成立,解得a的范圍。
(1)當a=1時,f(x)=,則f(x)的定義域是
。
由,得0<x<1;由
,得x>1;
∴f(x)在(0,1)上是增函數,在(1,上是減函數!6分
(2)。若函數f(x)在區間[1,2]上為單調函數,
則或
在區間[1,2]上恒成立。∴
,或
在區間[1,2]上恒成立。即
,或
在區間[1,2]上恒成立。
又h(x)=在區間[1,2]上是增函數。h(x)max=(2)=
,h(x)min=h(1)=3
即,或
。 ∴
,或
。
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