題目列表(包括答案和解析)
已知曲線上動點
到定點
與定直線
的距離之比為常數
.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若過點引曲線C的弦AB恰好被點
平分,求弦AB所在的直線方程;
(3)以曲線的左頂點
為圓心作圓
:
,設圓
與曲線
交于點
與點
,求
的最小值,并求此時圓
的方程.
【解析】第一問利用(1)過點作直線
的垂線,垂足為D.
代入坐標得到
第二問當斜率k不存在時,檢驗得不符合要求;
當直線l的斜率為k時,;,化簡得
第三問點N與點M關于X軸對稱,設,, 不妨設
.
由于點M在橢圓C上,所以.
由已知,則
,
由于,故當
時,
取得最小值為
.
計算得,,故
,又點
在圓
上,代入圓的方程得到
.
故圓T的方程為:
已知中心在原點O,焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經過點C(2,2),且拋物線的焦點為F1.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點,當以AB為直徑的圓P與y軸相切時,求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關系的運用。第一問中,設出橢圓的方程,然后結合拋物線的焦點坐標得到,又因為
,這樣可知得到
。第二問中設直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯立方程組可以得到
,再利用
可以結合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。
解:(Ⅰ)設橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………2分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設直線l的方程為y=-x+m,……………5分
代入橢圓E方程,得…………………………6分
………………………7分
、
………………8分
………………………9分
……………………………10分
當m=3時,直線l方程為y=-x+3,此時,x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,
圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分
同理,當m=-3時,直線l方程為y=-x-3,
圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4
設橢圓的左、右頂點分別為
,點
在橢圓上且異于
兩點,
為坐標原點.
(Ⅰ)若直線與
的斜率之積為
,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線
的斜率
滿足
【解析】(1)解:設點P的坐標為.由題意,有
①
由,得
,
由,可得
,代入①并整理得
由于,故
.于是
,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為
.
由條件得消去
并整理得
②
由,
及
,
得.
整理得.而
,于是
,代入②,
整理得
由,故
,因此
.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設點P的坐標為
.
由P在橢圓上,有
因為,
,所以
,即
③
由,
,得
整理得
.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓
的離心率為
,且經過點
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存過點(2,1)的直線
與橢圓
相交于不同的兩點
,滿足
?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
【解析】第一問利用設橢圓的方程為
,由題意得
解得
第二問若存在直線滿足條件的方程為
,代入橢圓
的方程得
.
因為直線與橢圓
相交于不同的兩點
,設
兩點的坐標分別為
,
所以
所以.解得。
解:⑴設橢圓的方程為
,由題意得
解得,故橢圓
的方程為
.……………………4分
⑵若存在直線滿足條件的方程為
,代入橢圓
的方程得
.
因為直線與橢圓
相交于不同的兩點
,設
兩點的坐標分別為
,
所以
所以.
又,
因為,即
,
所以.
即.
所以,解得
.
因為A,B為不同的兩點,所以k=1/2.
于是存在直線L1滿足條件,其方程為y=1/2x
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