題目列表(包括答案和解析)
(12分)在4名男生和3名女生中挑選3人參加志愿者服務活動，
(Ⅰ)求至多選中1名女生的概率；
(Ⅱ)記女生被選中的人數為隨機變量
，求的分布列和數學期望．
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
，乙轟炸機投彈1次命中目標的概率為
，兩機投彈互不影響，每機各投彈2次，2次投彈之間互不影響．
，乙轟炸機投彈1次命中目標的概率為
，兩機投彈互不影響，每機各投彈2次，2次投彈之間互不影響．（本小題滿分13分）某企業準備招聘一批大學生到本單位就業，但在簽約前要對他們的某項專業技能進行測試。在待測試的某一個小組中有男、女生共10人（其中女生人數多于男生人數），如果從中隨機選2人參加測試，其中恰為一男一女的概率為
（I）求該小組中女生的人數； （II）假設此項專業技能測試對該小組的學生而言，每個女生通過的概率均為
，每個男生通過的概率均為
，現對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個人進行測試，記這3人中通過測試的人數為隨機變量
，求的分布列和數學期望。
一、選擇題
1. B 2. C 3. A 4. D 5. C 6. D 7. B 8. C 9. A 10. D
二、填空題
11. 192 12. 286 13. 
14. 
15.
840 16. 
三、解答題
17. （本題12分）
解：（I）
2分
（II）
8分
由已知條件
根據正弦定理，得
10分
12分
18. （本題12分）
解：（I）在7人中選出3人，總的結果數是
種， （2分）
記“被選中的3人中至多有1名女生”為事件A，則A包含兩種情形：
①被選中的是1名女生，2名男生的結果數是
，
②被選中的是3名男生的結果數是
4分
至多選中1名女生的概率為
6分
（II）由題意知隨機變量
可能的取值為：0，1，2，3，則有
，
8分
∴
0
1
2
3
P
10分
∴的數學期望
12分
19. （本題12分）
解：（I）連接PO，以OA，OB，OP所在的直線為x軸，y軸，z軸
建立如圖所示的空間直角坐標系。 2分
∵正四棱錐的底面邊長和側棱長都是2。
∴
∴
（II）∵
∴
是平面PDB的一個法向量。 8分
由（I）得
設平面BMP的一個法向量為
則由
，得
，不妨設c=1
得平面BMP的一個法向量為
10分
∵二面角M―PB―D小于90°
∴二面角M―PB―D的余弦值為
12分
20. （本題12分）
解：（I）由已知得
2分
由
，得 4分
即
。解得k=50或
（舍去）
6分
（II）由
，得
8分
9分
是等差數列
則
11分
12分
21. （本題14分）
解：（I）依題意得
2分
把
解得
∴橢圓的方程為
4分
（II）由（I）得
，設
，如圖所示，
∵M點在橢圓上，
∴
①
∵M點異于頂點A、B，
∴
由P、A、M三點共線，可得
，
從而
7分
∴
② 8分
將①式代入②式化簡得
10分
∵
∴
12分
于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
∴點B在以MN為直徑的圓內。 14分
22. （本題14分）
解：（I）
，
令
2分
而
∴當
4分
（II）設函數g(x)在[0，2]上的值域是A，
∵若對任意
∴
6分
①當
，
∴函數
上單調遞減。
∵
∴
； 8分
②當
令
（舍去） 9分
（i）當
時，
的變化如下表：
（ii）當
∴函數g(x)在（0，2）上單調遞減。
綜上可知，實數a的取值范圍是
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