解得a1=2.令n=2時有 S2=a1+a2 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)已知函數

(I)若函數在區間上存在極值,求實數a的取值范圍;

(II)當時,不等式恒成立,求實數k的取值范圍.

(Ⅲ)求證:解:(1),其定義域為,則,

時,;當時,

在(0,1)上單調遞增,在上單調遞減,

即當時,函數取得極大值.                                       (3分)

函數在區間上存在極值,

 ,解得                                            (4分)

(2)不等式,即

(6分)

,則,

,即上單調遞增,                          (7分)

,從而,故上單調遞增,       (7分)

          (8分)

(3)由(2)知,當時,恒成立,即

,則,                               (9分)

                                                                       (10分)

以上各式相加得,

                           

                                        (12分)

。

 

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設函數f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.

(1)求f(x)的單調區間;

(2)討論f(x)的極值.

所以f(-1)=2是極大值,f(1)=-2是極小值.

(2)曲線方程為y=x3-3x,點A(0,16)不在曲線上.

設切點為M(x0,y0),則點M的坐標滿足y0=x03-3x0.

因f′(x0)=3(x02-1),故切線的方程為y-y0=3(x02-1)(x-x0).

注意到點A(0,16)在切線上,有16-(x03-3x0)=3(x02-1)(0-x0),

化簡得x03=-8,解得x0=-2.

所以切點為M(-2,-2),

切線方程為9x-y+16=0.

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已知數列是各項均不為0的等差數列,公差為d,為其前n項和,且滿足,.數列滿足,,為數列的前n項和.

(1)求數列的通項公式和數列的前n項和;

(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數的取值范圍;

(3)是否存在正整數,使得成等比數列?若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由.

【解析】第一問利用在中,令n=1,n=2,

   即      

解得,, [

時,滿足

,

第二問,①當n為偶數時,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.   

 ,等號在n=2時取得.

此時 需滿足.  

②當n為奇數時,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.     

 是隨n的增大而增大, n=1時取得最小值-6.

此時 需滿足

第三問,

     若成等比數列,則,

即.

,可得,即

        .

(1)(法一)在中,令n=1,n=2,

   即      

解得,, [

時,滿足,

(2)①當n為偶數時,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.   

 ,等號在n=2時取得.

此時 需滿足.  

②當n為奇數時,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.     

 是隨n的增大而增大, n=1時取得最小值-6.

此時 需滿足

綜合①、②可得的取值范圍是

(3)

     若成等比數列,則

即.

,可得,即,

,且m>1,所以m=2,此時n=12.

因此,當且僅當m=2, n=12時,數列中的成等比數列

 

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設代數方程a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=0有2n個不同的根±x1,±x2,…,±xn,則a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=a0(1-
x2
x
2
1
)(1-
x2
x
2
2
)•…•(1-
x2
x
2
n
)
,比較兩邊x2的系數得a1=
a0(
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
)
a0(
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
)
(用a0•x1•x2•…•xn表示);若已知展開式
sinx
x
=1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…
對x∈R,x≠0成立,則由于
sinx
x
=0
有無窮多個根:±π,±2π,…,+±nπ,…,于是1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…=(1-
x2
π2
)(1-
x2
22π2
)•…•(1-
x2
n2π2
)•…
,利用上述結論可得1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
+…
=
π2
6
π2
6

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設數列{an}是公差為d的等差數列,其前n項和為Sn
(1)已知a1=1,d=2,
(。┣螽攏∈N*時,
Sn+64
n
的最小值;
(ⅱ)當n∈N*時,求證:
2
S1S3
+
3
S2S4
+…+
n+1
SnSn+2
5
16
;
(2)是否存在實數a1,使得對任意正整數n,關于m的不等式am≥n的最小正整數解為3n-2?若存在,則求a1的取值范圍;若不存在,則說明理由.

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