當實數取何值時，復數（其中是虛數單位）．

（1）是實數；（2）是純虛數；（3）等于零.

【解析】（1）根據實數的等價條件：復數的虛部為零，列出方程求出m的值；

（2）根據純虛數的等價條件：復數的虛部不為零、實部為零，列出方程求出m的值；

（3）根據實部和虛部都為零，列出方程求出m的值．

 

橢圓的左、右焦點分別為，一條直線經過點與橢圓交于兩點．

⑴求的周長；

⑵若的傾斜角為，求的面積．

【解析】（1）根據橢圓的定義的周長等于4a.

（2）設,則,然后直線l的方程與橢圓方程聯立，消去x，利用韋達定理可求出所求三角形的面積.

 

已知函數

（Ⅰ）求函數的最小正周期；

（Ⅱ）求函數在區間上的最大值和最小值.

【解析】（1）

所以，的最小正周期

（2）因為在區間上是增函數，在區間上是減函數，

又，，，

故函數在區間上的最大值為，最小值為-1.

 

已知是等差數列，其前n項和為S_n，是等比數列，且，.

（Ⅰ）求數列與的通項公式；

（Ⅱ）記，，證明（）.

【解析】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q.

由，得，，.

由條件，得方程組，解得

所以，，.

（2）證明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：數學歸納法）

①  當n=1時，，，故等式成立.

②  假設當n=k時等式成立，即，則當n=k+1時，有：

   

   

即，因此n=k+1時等式也成立

由①和②，可知對任意，成立.

 

如圖，已知點，圓是以為直徑的圓，直線，（為參數）．

（１）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，求圓的極坐標方程；

（２）過原點作直線的垂線，垂足為，若動點滿足，當變化時，求點軌跡的參數方程，并指出它是什么曲線．

【解析】（1）圓C的普通方程為，    （2’）

極坐標方程為。        （4’）

（2）直線l的普通方程為，        （5’）

點                      （7’）

           （9’）

點M軌跡的參數方程為，圖形為圓