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某公司全年的利潤為b元，其中一部分作為獎金發給n位職工，獎金分配方案如下:首先將職工按工作業績(工作業績均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金元，然后再將余額除以n發給第2位職工，按此方法將獎金逐一發給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發展基金.
(1)設a_k(1≤k≤n)為第k位職工所得獎金金額，試求a₂,a₃，并用k、n和b表示a_k(不必證明)；
(2)證明a_k＞a_k+1(k=1,2,…,n－1),并解釋此不等式關于分配原則的實際意義；
(3)發展基金與n和b有關，記為P_n(b),對常數b，當n變化時，求P_n(b).

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難點磁場

解：(1)設f(x)=a(x－)²－，由f(1)=0得a=1.

∴f(x)=x²－(t+2)x+t+1.

(2)將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：

(x－1)［x－(t+1)］g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹，上式對任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分別代入上式得：

且t≠0，解得a_n=［(t+1)ⁿ⁺¹－1］，b_n=［1－(t+1ⁿ)

(3)由于圓的方程為(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，又由(2)知a_n+b_n=1，故圓C_n的圓心O_n在直線x+y=1上，又圓C_n與圓C_n+1相切，故有r_n+r_n+1=｜a_n+1－a_n｜=(t+1)ⁿ⁺¹?

設{r_n}的公比為q，則

                                                                        ②÷①得q==t+1，代入①得r_n=

∴S_n=π(r₁²+r₂²+…+r_n²)=［(t+1)²ⁿ－1］

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一、1.解析：當a=n時y=n(n+1)x²－(2n+1)x+1

由｜x₁－x₂｜=，得d_n=，∴d₁+d₂+…+d_n

答案：A

二、2.解析：由1,x₁,x₂,4依次成等差數列得：2x₁=x₂+1,x₁+x₂=5解得x₁=2,x₂=3.又由1，y₁,y₂,8依次成等比數列，得y₁²=y₂,y₁y₂=8,解得y₁=2,y₂=4,

∴P₁(2,2),P₂(3,4).∴=(3,4)

∴

答案：1

3.解析：第一次容器中有純酒精a－b即a(1－)升，第二次有純酒精a(1－)－，即a(1－)²升，故第n次有純酒精a(1－)ⁿ升.

答案：a(1－)ⁿ

4.解析：從2001年到2005年每年的國內生產總值構成以95933為首項，以7.3%為公比的等比數列，∴a₅=95933(1+7.3%)⁴≈120000(億元).

答案：120000

三、

5.解：(1)由題意得rq^n－1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹.由題設r＞0,q＞0,故從上式可得：q²－q－1＜0，解得＜q＜,因q＞0,故0＜q＜;

(2)∵.b₁=1+r≠0，所以{b_n}是首項為1+r，公比為q的等比數列，從而b_n=(1+r)q^n-1.

當q=1時，S_n=n(1+r),

,從上式可知，當n－20.2＞0，即n≥21(n∈N^*)時，C_n隨n的增大而減小，故

1＜C_n≤C₂₁=1+=2.25                                                                  ①

當n－20.2＜0，即n≤20(n∈N^*)時，C_n也隨n的增大而減小，故1＞C_n≥C₂₀=1+=－4                                                                                       ②

綜合①②兩式知，對任意的自然數n有C₂₀≤C_n≤C₂₁,故{C_n}的最大項C₂₁=2.25，最小項C₂₀=－4.

6.解：(1)第1位職工的獎金a₁=，第2位職工的獎金a₂=(1－)b，第3位職工的獎金a₃=(1－)²b，…，第k位職工的獎金a_k= (1－)^k－1b;

(2)a_k－a_k+1=(1－)^k－1b＞0，此獎金分配方案體現了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則.

(3)設f_k(b)表示獎金發給第k位職工后所剩余數，則f₁(b)=(1－)b,f₂(b)=(1－)²b,…,f_k(b)=(1－)^kb.得P_n(b)=f_n(b)=(1－)ⁿb,

故.

7.解：設a_n表示第n年的廢舊物資回收量，S_n表示前n年廢舊物資回收總量，則數列{a_n}是以10為首項，1+20%為公比的等比數列.

(1)a₆=10(1+20%)⁵=10×1.2⁵=24.8832≈25(萬噸)

(2)S₆==99.2992≈99.3(萬噸)

∴從1996年到2000年共節約開采礦石20×99.3≈1986(萬噸)

(3）由于從1996年到2001年共減少工業廢棄垃圾4×99.3=397.2(萬噸)，

∴從1996年到2001年共節約：

≈3 平方公里.

8.解：(1)當n≥3時，x_n=;

由此推測a_n=(－)^n-1a(n∈N)

證法一：因為a₁=a＞0,且

 (n≥2)

所以a_n=(－)^n-1a.

證法二：用數學歸納法證明：

(?)當n=1時，a₁=x₂－x₁=a=(－)⁰a,公式成立；

(?)假設當n=k時，公式成立，即a_k=(－)^k－1a成立.

那么當n=k+1時，

a_k+1=x_k+2－x_k+1=

據(?)(?)可知，對任意n∈N，公式a_n=(－)^n-1a成立.

(3)當n≥3時，有x_n=(x_n－x_n－1)+(x_n－1－x_n－2)+…+(x₂－x₁)+x₁

=a_n－1+a_n－2+…+a₁,

由(2)知{a_n}是公比為－的等比數列，所以a.