如圖，A地到火車站共有兩條路徑L₁，L₂，現隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查，結果如下：

所用時間（分鐘）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
選擇L1的人數	6	12	18	12	12
選擇L2的人數	0	4	16	16	4

（1）試估計40min內不能趕到火車站的概率
（2）現甲有40min時間趕往火車站，為盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他如何選路徑．

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如圖，A地到火車站共有兩條路徑L₁和L₂，現隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查，調查結果如下：

（1）試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；
（2）分別求通過路徑L₁和L₂所用時間落在上表中各時間段內的頻率；
（3）現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡量大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑。

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1.（1）因為，所以

      又是圓O的直徑，所以

      又因為（弦切角等于同弧所對圓周角）

      所以所以

      又因為，所以相似

      所以，即

  （2）因為，所以，

       因為，所以

       由（1）知：。所以

       所以，即圓的直徑

       又因為，即

     解得

2.依題設有：

 令，則

3.將極坐標系內的問題轉化為直角坐標系內的問題

  點的直角坐標分別為

  故是以為斜邊的等腰直角三角形，

  進而易知圓心為，半徑為，圓的直角坐標方程為

      ，即

  將代入上述方程，得

  ，即

4.假設，因為，所以。

又由，則，

所以，這與題設矛盾

又若，這與矛盾

綜上可知，必有成立

同理可證也成立

命題成立

5. 解：由a₁=S₁,k=.下面用數學歸納法進行證明.

1°.當n=1時，命題顯然成立；

2°.假設當n=k(kN*)時，命題成立,

即1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）,

則n=k+1時，1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）

=( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）

即命題對n=k+1.成立

由1°, 2°，命題對任意的正整數n成立.

6.（1）因為，，

      ，所以

       故事件A與B不獨立。

   （2）因為

       所以