（本小題滿分12分）已知函數

（I）若函數在區間上存在極值，求實數a的取值范圍；

（II）當時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍.

（Ⅲ）求證：解：（1），其定義域為，則令，

則，

當時，；當時，

在（0，1）上單調遞增，在上單調遞減，

即當時，函數取得極大值.                                       （3分）

函數在區間上存在極值，

 ，解得                                            （4分）

（2）不等式，即

令

（6分）

令，則，

，即在上單調遞增，                          （7分）

，從而，故在上單調遞增，       （7分）

          （8分）

（3）由（2）知，當時，恒成立，即，

令，則，                               （9分）

                                                                       （10分）

以上各式相加得，

即，

即                           

                                        （12分）

。

 

在數列中， 記

（Ⅰ）求、、、并推測；

（Ⅱ）用數學歸納法證明你的結論.

【解析】第一問利用遞推關系可知，、、、，猜想可得

第二問中，①當時，=，又，猜想正確

②假設當時猜想成立，即，

當時，

=

=，即當時猜想也成立

兩步驟得到。

（2）①當時，=，又，猜想正確

②假設當時猜想成立，即，

當時，

=

=，即當時猜想也成立

由①②可知，對于任何正整數都有成立

 

（本小題滿分14分）

已知函數和的圖象在處的切線互相平行.

(1) 求的值；（4分）

（2）設，當時，恒成立，求的取值范圍. （10分）

 

已知常數且，數列前項和 數列滿足  且

（1）求證：數列是等比數列

（2）若對于區間上的任意實數，總存在不小于2的自然數，當時，恒成立，求的最小值

已知函數和函

的圖像在處的切線互相平行.

（1）求的值；

（2）設，當時，恒成立，求的取值范圍.