已知函數，且，函數的圖象經過點，且與的圖象關于直線對稱，將函數的圖象向左平移2個單位后得到函數的圖象．

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）若在區間上的值不小于8，求實數的取值范圍．

（III）若函數滿足：對任意的（其中），有，稱函數在的圖象是“下凸的”．判斷此題中的函數圖象在是否是“下凸的”？如果是，給出證明；如果不是，說明理由．

 

已知點C(

1

4

，0)，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右準線l₁+x=2與x軸相交于點D，右焦點F到上頂點的距離為

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，使得(

CA

+

CB

)⊥

BA

？若存在，求出直線l；若不存在，說明理由．

已知函數f（x）=a+bsinx+ccosx（x∈R）的圖象經過點A（0，1），B(

π

2

，1)，且b＞0，又f（x）的
最大值為2

2

-1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）由函數y=f（x）的圖象經過平移是否能得到一個奇函數y=g（x）的圖象？若能，請寫出平移過程；若不能，請說明理由．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁

x2

a2

+

y2

b2

=1以拋物線y2=4

3

x的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線x2=

1

mn

y異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線C_b上，若存在求出函數f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．