設正整數數列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，當n≥2時，有|

a

2 n

-an-1an+1| ＜  

1

2

an-1．
（1）求a₃的值；（2）求數列{a_n}的通項；
（3）記Tn=

12

a1

+

22

a2

+

32

a3

 +K+

n2

an

，證明：對任意n∈N^*，Tn＜

9

4

．

設正整數數列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，當n≥2時，有．
（1）求a₃的值；（2）求數列{a_n}的通項；
（3）記，證明：對任意n∈N^*，．

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，
其中λ為實數，n為正整數．
（1）對任意實數λ，證明：數列{a_n}不是等比數列；
（2）證明：當λ≠18時，數列 {b_n} 是等比數列；
（3）設S_n為數列 {b_n} 的前n項和，是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

已知數列{a_n}滿足an=

n

n-1

an-1-

1

3

n•(

2

3

)n(n≥2，n∈N*)，首項為a1=

4

9

；
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記bn=

n-an

3n-2an

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

；
（3）設數列{c_n}滿足c1=

1

2

，cn+1=

( 2 3 )k+1

ak

•

c

2 n

+cn，其中k為一個給定的正整數，
求證：當n≤k時，恒有c_n＜1．

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實數，n為正整數．
（Ⅰ）證明：當λ≠-18時，數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）設S_n為數列{b_n}的前n項和，是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．