（本小題滿分12分）正在執行護航任務的某導彈護衛艦，突然收到一艘商船的求救信號，緊急前往相關海域．如圖所示，到達相關海域處后發現，在南偏西、5海里外的洋面M處有一條海盜船，它正以每小時20海里的速度向南偏東的方向逃竄．某導彈護衛艦當即施放載有突擊隊員的快艇進行攔截，快艇以每小時30海里的速度向南偏東的方向全速追擊．請問：快艇能否追上海盜船？如果能追上，請求出的值；如果未能追上，請說明理由．

（本小題滿分12分）正在執行護航任務的某導彈護衛艦，突然收到一艘商船的求救信號，緊急前往相關海域．如圖所示，到達相關海域處后發現，在南偏西、5海里外的洋面M處有一條海盜船，它正以每小時20海里的速度向南偏東的方向逃竄．某導彈護衛艦當即施放載有突擊隊員的快艇進行攔截，快艇以每小時30海里的速度向南偏東的方向全速追擊．請問：快艇能否追上海盜船？如果能追上，請求出的值；如果未能追上，請說明理由．

已知遞增等差數列滿足：，且成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當時，；當時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當時，；當時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數學歸納法．

當時，，成立．

假設當時，不等式成立，

當時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調性證明．

要證 

只要證  ，  

設數列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數列為單調遞減數列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 已知函數，是的一個零點，又在 處有極值，在區間和上是單調的，且在這兩個區間上的單調性相反．（1）求的取值范圍；（2）當時，求使成立的實數的取值范圍．

從而    或即或

所以存在實數，滿足題目要求.……………………12分