(2)是否存在數列的一個無窮等比子數列.使得它各項的和為?若存在.求出滿足條件的子數列的通項公式,若不存在.請說明理由, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

從數列{an}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數列,,,…,…，稱之為數列{an}的一個子數列.設數列{an}是一個公差不為零的等差數列，且a3=6,取n1=1,n2=3.

(Ⅰ)若a1=4，求正整數m，使，,am成等比數列；

(Ⅱ)若a1=4，那么{an}是否存在無窮等比子數列{}?請說明理由；

(Ⅲ)若{an}存在等比子數列,,，求整數a1的值.

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（2007•奉賢區一模）已知：函數f(x)=
x
ax+b
(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=
2
3
，f(x)=x有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）數列{an}對n≥2，n∈N總有an=f（an-1），a1=1；求證{
1
an
}為等差數列，并求出{an}的通項公式．
（3）是否存在這樣的數列{bn}滿足：{bn}為{an}的子數列（即{bn}中的每一項都是{an}的項）且{bn}為無窮等比數列，它的各項和為
1
2
．若存在，找出一個符合條件的數列{bn}，寫出它的通項公式；若不存在，說明理由．

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對于數列{xn}，從中選取若干項，不改變它們在原來數列中的先后次序，得到的數列稱為是原來數列的一個子數列．某同學在學習了這一個概念之后，打算研究首項為正整數a，公比為正整數q（q＞0）的無窮等比數列{an}的子數列問題．為此，他任取了其中三項ak，am，an（k＜m＜n）．
（1）若ak，am，an（k＜m＜n）成等比數列，求k，m，n之間滿足的等量關系；
（2）他猜想：“在上述數列{an}中存在一個子數列{bn}是等差數列”，為此，他研究了ak+an與2an的大小關系，請你根據該同學的研究結果來判斷上述猜想是否正確；
（3）他又想：在首項為正整數a，公差為正整數d的無窮等差數列中是否存在成等比數列的子數列？請你就此問題寫出一個正確命題，并加以證明．

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定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．
已知無窮等比數列{an}的首項、公比均為數學公式．
（1）試求無窮等比子數列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數列{an}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為數學公式？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{an}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

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定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．
已知無窮等比數列{an}的首項、公比均為
1
2
．
（1）試求無窮等比子數列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數列{an}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為
1
7
？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{an}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

0

(1,2)

2

題號

7

8

9

10

11

 

答案

4

8．3

②、③

 

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號

12

13

14

15

答案

A

C

B

20090116

三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

16．解：由條件，可得，故左焦點的坐標為．

設為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．

因為，所以

,

由二次函數性質可知，當時，取得最小值4．

所以，的模的最小值為2，此時點坐標為．

17．解：（1）當時，；

當且時，；

當時，；（不單獨分析時的情況不扣分）

當時，．

（2）由（1）知：當時，集合中的元素的個數無限；

當時，集合中的元素的個數有限，此時集合為有限集．

因為，當且僅當時取等號，

所以當時，集合的元素個數最少．

此時，故集合．

18．（本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 （2）解：如圖所示．由，，則面．

所以，四棱錐的體積為

．

19．解：（1）根據三條規律，可知該函數為周期函數，且周期為12．

由此可得，；

由規律②可知，，

；

又當時，，

所以，，由條件是正整數，故取．

    綜上可得，符合條件．

（2） 解法一：由條件，，可得

，

，

，．

因為，，所以當時，，

故，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區的旅游“旺季”．

解法二：列表，用計算器可算得

月份

…

6

7

8

9

10

11

…

人數

…

383

463

499

482

416

319

…

故一年中的7，8，9，10四個月是該地區的旅游“旺季”．

20．解：（1）依條件得： 則無窮等比數列各項的和為：

     ；

  （2）解法一：設此子數列的首項為，公比為，由條件得：，

則，即    

而  則 .

所以，滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，它的首項、公比均為，

其通項公式為，.

解法二：由條件，可設此子數列的首項為，公比為．

由………… ①

又若，則對每一

都有………… ②

從①、②得；

則；

因而滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，此子數列是首項、公比均為無窮等比子

數列，通項公式為，．

（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：

問題一：是否存在數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和互為倒數？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由．

解：假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和之積為1。設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中且或，則

，

因為等式左邊或為偶數，或為一個分數，而等式右邊為兩個奇數的乘積，還是一個奇數。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數列不存在。

【以上解答屬于層級3，可得設計分4分，解答分6分】

問題二：是否存在數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由．

解：假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和相等。設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中且或，則

………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設，則

①………… ②

1當時，②，等式左邊是偶數，

右邊是奇數，矛盾；

2當時，②

或

，

兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

綜合可得，不存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們的各項和相等。

【以上解答屬于層級4，可得設計分5分，解答分7分】

問題三：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數列；若不存在，說明理由．

解：假設存在滿足條件的原數列的兩個不同的無窮等比子數列。設這兩個子數列的首項、公比分別為和，其中且或，則

，

顯然當時，上述等式成立。例如取，，得：

第一個子數列：，各項和；第二個子數列：，

各項和，有，因而存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍。

【以上解答屬層級3，可得設計分4分，解答分6分．若進一步分析完備性，可提高一個層級評分】

問題四：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：存在。

問題五：是否存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得其中一個數列的各項和等于另一個數列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：不存在．

【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設計，可得設計分5分。解答分最高7分】

 


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