如圖，在矩形中，已知、兩點的坐標分別為，為的中點．設點是平分線上的一個動點（不與點重合）．

（1）試證明：無論點運動到何處，總與相等；

（2）當點運動到與點的距離最小時，試確定過三點的拋物線的解析式；

（3）設點是（2）中所確定拋物線的頂點，當點運動到何處時，的周長最小？求出此時點的坐標和的周長；

（4）設點是矩形的對稱中心，是否存在點，使？若存在，請直接寫出點的坐標．

如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點．設點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）．
（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；
（2）當點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；
（3）設點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，△PDE的周長最小？求出此時點P的坐標和△PDE的周長；
（4）設點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P，使∠CPN=90°？若存在，請直接寫出點P的坐標．