如圖，⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點B的坐標為（0，），∠CAB=90°，AC=AB，頂點A在⊙O上運動．
（1）當點A在y軸上時，求點C的坐標；
（2）當點A運動到y軸的負半軸上時，試判斷直線BC與⊙O位置關系，并說明理由；
（3）當點A在y軸右側運動時，設點A的縱坐標為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并寫出S的取值范圍；
（4）當直線AB與⊙O在第一象限內相切時，在坐標軸上是否存在一點P，使得以P、A、B、C為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖：在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在x軸上,頂點B(4，2)在拋物線上，且拋物線交x軸于另一點D(6，0)，拋物線的對稱軸交BC邊于E，直線AE分別交y軸于F、交OB于P。

(1)求拋物線對應的二次函數解析式；

(2)若以點O為圓心，OP為半徑作⊙O，試判斷AE與⊙O的位置關系，并說明理由；

(3)若動直線MN⊥x軸于N交拋物線于M，且在y軸的右側運動，是否存在點M使得△AMN與△ABP相似？若存在請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現△ABC以每秒2個單位的速度向右移動，同時△ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大．
（1）當△ABC的邊（BC邊除外）與圓第一次相切時，點B移動了多少距離？
（2）若在△ABC移動的同時，⊙O也以每秒1個單位的速度向右移動，則△ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經過了多少時間？
（3）在（2）的條件下，是否存在某一時刻，△ABC與⊙O的公共部分等于⊙O的面積？若存在，求出恰好符合條件時兩個圖形移動了多少時間？若不存在，請說明理由．