（本小題滿分14分）

閱讀下面一段文字：已知數列的首項，如果當時，，則易知通項，前項的和. 將此命題中的“等號”改為“大于號”，我們得到：數列的首項，如果當時，，那么，且. 這種從“等”到“不等”的類比很有趣。由此還可以思考：要證，可以先證，而要證，只需證（）. 結合以上思想方法，完成下題：

已知函數，數列滿足，，若數列的前項的和為，求證：.

（本題滿分18分）

對于定義域為D的函數，如果存在區間，同時滿足：

①在內是單調函數；

②當定義域是時，的值域也是．

則稱是該函數的“和諧區間”．

（1）求證：函數不存在“和諧區間”．

（2）已知：函數（）有“和諧區間”，當變化時，求出的最大值．

（3）易知，函數是以任一區間為它的“和諧區間”．試再舉一例有“和諧區間”的函數，并寫出它的一個“和諧區間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的及形如的函數為例）