已知橢圓Γ的中心在原點.焦點在x軸上.它的一個頂點B恰好是拋物線y=x2的焦點.離心率等于.直線與橢圓Γ交于兩點.(Ⅰ)求橢圓Γ的方程, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（本題滿分12分）

    已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

 

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（本題滿分12分）
已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

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（本題滿分12分）

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，左右焦點分別為，且，點）在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線與橢圓相交于、兩點，且△的面積，求以為圓心且與直線相切的圓的方程.

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（本題滿分12分）

已知橢圓的焦點在軸上，中心在原點，離心率，直線和以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為、，點是橢圓上異于、的任意一點，設直線、的斜率分別為、，證明為定值；

（Ⅲ）設橢圓方程，、為長軸兩個端點， 為橢圓上異于、的點， 、分別為直線、的斜率，利用上面（Ⅱ）的結論得（        ）（只需直接寫出結果即可，不必寫出推理過程）．

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（本題滿分12分）已知橢圓E：（其中），直  線L與橢圓只有一個公共點T；兩條平行于y軸的直線分別過橢圓的左、右焦點F1、F2，且直線L分別相交于A、B兩點．

（Ⅰ）若直線L在軸上的截距為，求證： 直線L斜率的絕對值與橢圓E的離心率相等；（Ⅱ）若的最大值為1200，求橢圓E的方程．

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一.選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

A

B

D

A

D

D

A

B

A

二.填空題

   13. .;       14. ;      15. 15;         16. ,可以填寫任意實數

三、解答題

17．（Ⅰ）

(Ⅱ)

由得,從而,即 .所以,函數與軸交點的橫坐標為.           12分

18.由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為5、25和20．

（I）該班學生參加活動的人均次數為=．     3分

（II）從該班中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概率為．                                               6分

（III）從該班中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件．易知

；                     8分

.                                     10分

的分布列：

0

1

2

的數學期望：．                            12分

19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分

（Ⅱ）法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC

垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂線定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，。∴，

即二面角D′―BC―E的正切值為.                         12分

法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系，則

設平面BEC的法向量為；平面D′BC的法向量為

由.取 

∴。 

∴二面角D′―BC―E的的正切值為.

20. (Ⅰ）設C方程為，則b = 1.

∴橢圓C的方程為  …………………………………………………6分

（Ⅱ）假設存在直線,使得點是的垂心.易知直線的斜率為，從而直線的斜率為1.設直線的方程為，代如橢圓的方程，并整理可得.設，則，.于是

解之得或.

當時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意.當時，經檢驗知和橢圓相交，符合題意.  所以，當且僅當直線的方程為時, 點是的垂心.        12分

21. （Ⅰ）注意到當時, 直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論.

(1) 當a>0時，函數y=, 的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由<0知在上單調遞增，∴.

(2)當a=0時，, ,∴.      3分

(3)當a<0時,函數y=, 的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若，即則                4分

若，即,則       5分

若，即,則.              6分

綜上有                                7分

（Ⅱ）當時，，所以， g(a)在上單調遞增，于是由g(a)的不減性知等價于或

解之得或.所以，的取值范圍為.               12分

22.(Ⅰ)對一切有，即  ,      ()                            4分

由及兩式相減,得:

 

       

       ∴是等差數列,且, .                                    8分

說明:本小題也可以運用先猜后證(數學歸納法)的方法求解.給分時,猜想正確得3分,證明給5分.

(Ⅱ) 由,知,因此,只需證明.                                              10分

當或時,結論顯然成立.當時,

   

所以,原不等式成立.                                                          14分

 

 


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