Question

【題目】全民健身倡導全民做到每天參加一次以上的體育健身活動，旨在全面提高國民體質和健康水平.某部門在該市年發布的全民健身指數中，其中的“運動參與”的評分值（滿分分）進行了統計，制成如圖所示的散點圖：

（1）根據散點圖，建立關于的回歸方程；

（2）從該市的市民中隨機抽取了容量為的樣本，其中經常參加體育鍛煉的人數為，以頻率為概率，若從這名市民中隨機抽取人，記其中“經常參加體育鍛煉”的人數為，求的分布列和數學期望.

附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： .

Answer 1

【答案】（1）（2）分布列見解析，

【解析】試題分析：（1）根據散點圖及平均數公式可求出與的值可得樣本中心點的坐標，從而求可得公式中所需數據，求出，再結合樣本中心點的性質可得，進而可得關于的回歸方程；（2）從這名市民中隨機抽取人， 的可能取值為，根據獨立重復試驗概率公式求出個隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數學期望.

試題解析：（1）由題， ，

則

.

.

則.

所以運動參與關于的回歸方程是.

（2）以頻率為概率，從這名市民中隨機抽取人，經常參加體育鍛煉的概率為，由題， 的可能取值為.

則 .

分布列如下：

數學期望或.

【方法點晴】本題主要考查散點圖的應用和線性回歸方程，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據樣本數據畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系；②計算的值；③計算回歸系數；④寫出回歸直線方程為； 回歸直線過樣本點中心是一條重要性質，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.