Question

【題目】如圖，四邊形內接于，是的直徑，和相交于點，且．

（1）求證：；

（2）分別延長，交于點，過點作交的延長線于點，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用DC2=CECA，加上∠DCE=∠ACD可判斷△CDE∽△CAD，則∠CDB=∠CAD，從而得到BC=CD；

（2）連接OC，先證AD∥OC，由平行線分線段成比例性質定理求得PC的值，再由割線定理PCPD=PBPA求得半徑，根據勾股定理求得AC，再證明△AFD∽△ACB，設FD=x，由比例線段得到AF=x,，在Rt△AFP中，利用勾股定列出方程，求解得DF.也可連接，過點作垂直于，和△PGO∽△PFA，根據相似三角形的性質和等量代換可得，根據線段之間的關系，即可解決.

（1）證明：，

，

，

，

，

∵四邊形內接于，

；

（2）解：方法一：如圖，連接，

，

，

又，

，

，

，

，

，，

又

，即，，

在中，

，

是直徑，

，

，

又，

在中，設，則，

∴在中有，，

求得．

方法二；連接，過點作垂直于，

易證，可得，

△PGO∽△PFA，可得，

可得，，由方法一中代入，

即可得出．