Question

9．已知平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程：x²-3ax+3a-1=0的兩個實數根．
（1）當a為何值的，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；
（2）若此方程的一個根是2，請求出方程的另一個根，并求以此平行四邊形ABCD的周長是多少？

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是菱形，可得AB=AD，又由平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程：x²-3ax+3a-1=0的兩個實數根，可得x²-3ax+3a-1=0有相等的實數根，即△=0，則可求得a的值，繼而求得答案；
（2）首先將方程的一個根2，代入x²-3ax+3a-1=0，即可求得a的值，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程：x²-3ax+3a-1=0的兩個實數根，
∴△=（-3a）²-4×（3a-1）=9a²-12a+4=0，
解得：a=$\frac{2}{3}$，
∴當a=$\frac{2}{3}$時，四邊形ABCD是菱形；
∴原方程為：x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
∴這時菱形的邊長為：1；

（2）∵此方程的一個根是2，
∴2²-6a+3a-1=0，
解得：a=1，
∴原方程為：x²-3x+2=0，
∴（x-2）（x-1）=0，
解得：x₁=2，x₂=1，
∴AB+BC=3，
∴平行四邊形ABCD的周長是：6．

點評 此題考查了平行四邊形的性質、菱形的性質以及根的判別式．注意由菱形的鄰邊相等，得到x²-3ax+3a-1=0有相等的實數根，即△=0是關鍵．