【題目】閱讀下列各題并按要求完成:
(1)定義:若兩個一元二次方程有一個相同的實數根,則稱這兩個方程為“友好方程”,已知關于x的一元二次方程 x 2x 0 與 x 3x m 1 0 為“友好方程”,求 m 的值;
(2)關于x的一元二次方程 有兩個不相等的實數根
,
,且二次根式
有意義,若T=
,求T的取值范圍;
(3)我們不妨約定方程的整數解稱之為“硬核”,例如x=1就稱為方程(x-1)(2x+1)=0 的一個“硬核”,若一元二次方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0(k為常數)有兩個不同的“硬核”,試確定方程的兩個“硬核”及常數 k 的值.
【答案】(1)9或1;(2);(3)方程的兩個“硬核”為3和1,k=
.
【解析】
(1)首先解第一個方程,然后利用友好方程的定義代入第二個方程求得m的值即可;
(2)首先根據一元二次方程有兩個不相等的實數根和二次根式有意義的條件,得到關于m的不等式,求出m的取值范圍,然后對T進行化簡,代入x1+x2=4-2m,x1x2= m2-3m+3,可得,最后由m的取值范圍可得T的取值范圍;
(3)由方程為一元二次方程即可得出k-3k+2≠0,解之可得出k≠1且k≠2,利用因式分解法解一元二次方程可得出x1=,x2=
,由方程的兩根均為整數可設
,
(其中m、n均是不為1的整數),分析得出k≠0,n≠0,解分式方程用含m、n的代數式表示出k值,得到m=2
,結合m、n均為整數即可求出n=1,然后易求m與k值,此題得解.
解:(1)解x22x=0得:x=0或x=2,
∵關于x的一元二次方程x22x=0與x2+3x+m1=0為“友好方程”,
∴22+3×2+m1=0或02+3×0+m1=0,
解得:m=9或m=1,
∴m的值為9或1;
(2)∵關于x的一元二次方程 有兩個不相等的實數根,
∴△=[2(m-2)]2-4(m2-3m+3)>0,x1+x2=4-2m,x1x2= m2-3m+3,
∵二次根式有意義,
∴m+1≥0,
∴-1≤m<1,
∴T=
,
∴,即
;
(3)∵方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0為一元二次方程,
∴k-3k+2=(k1)(k2)≠0,
∴k≠1且k≠2.
∵(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=[(k1)x+k][(k2)x+k1]=0,
∴x1=,x2=
,
∵一元二次方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0有兩個不相等的整數解,
∴設,
(其中m、n均是不為1的整數),
∵當k=0時,x1=0,x2=,
∴k≠0,
∵k≠1,
∴n≠0.
∴k==
,
∴m=2.
∵m為整數,n為整數,
∴n=1或n=1(舍去).
∴,m=2
=3,
解得:k=.
即方程的兩個“硬核”為3和1,k=.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】我們知道在一定條件下,彈簧的伸長量跟所掛物體質量成正比,根據圖中給出的信息,解答下列問題:
(1)掛一個小砝碼彈簧伸長 ,掛一個大砝碼彈簧伸長
.
(2)如果要使彈簧長度為,應掛大砝碼、小砝碼各多少個?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為提高市民的精神生活美化城市環境,城市管理局從外地新進一批綠化樹苗,現有兩種運輸方式可供選擇,
方式一:使用快遞公司的郵車運輸,裝卸收費500元,另外每公里再加收5元;
方式二:使用鐵路運輸公司的火車運輸,裝卸收費900元,另外每公里再加收3元.
(1)請分別寫出郵車、火車運輸的總費用為(元)、
(元)與運輸路程
(公里)之間的函數關系式;
(2)你認為選用哪種運輸方式較好,為什么?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】函數y=x2+bx+c與y=x的圖象如圖所示,有以下結論:
①b2﹣4c>0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④當1<x<3時,x2+(b﹣1)x+c<0.
其中正確的個數為(。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知A,B兩點在同一條數軸上,點A在原點的左邊,到原點的距離為4,點B在原點右邊,點A 到B點的距離為16.
(1)求A,B兩點所表示的數:
(2)若A,B兩點分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度同時相向移動,在點C相遇,求點C表示的數?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.翻折∠C,使點C落在斜邊上某一點D處,折痕為EF(點E、F分別在邊AC、BC上).若△CEF與△ABC相似,則AD的長為_____.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,∠ADB=30°,E為BC邊上一點,∠AEB=45°,CF⊥BD于F.下列結論:①BE=CD,②BF=3DF,③AE=AO,④CE=CF.正確的結論有( )
A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①②③
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