Question

【題目】某公司生產一種健身產品在市場上很受歡迎，該公司每年的年產量為6萬件，每年可在國內和國外兩個市場全部銷售，若在國內銷售，平均每件產品的利潤y1（元）與國內銷售量x（萬件）的函數關系式為，若在國外銷售，平均每件產品的利潤為71元．

（1）求該公司每年的國內和國外銷售的總利潤w（萬元）與國內銷售量x（萬件）的函數關系式，并指出x的取值范圍．

（2）該公司每年的國內國外銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值是多少？

（3）該公司計劃在國外銷售不低于5萬件，并從國內銷售的每件產品中捐出2m（5≤m≤10）元給希望工程，從國外銷售的每件產品中捐出m元給希望工程，若這時國內國外銷售的最大總利潤為393萬元，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）w=

（2）當該公司每年的國內銷售量為5萬件國外銷售量為1萬件時，可使公司每年的總利潤最大，最大值是451萬元．

（3）5.5≤m≤6．

【解析】

（1）由利潤等于每件的利潤乘以件數，代入分段函數解析式，化簡可得解；

（2）結合（1）分別計算分段利潤函數的最大值，最后得出最大值即可；

（3）該公司計劃在國外銷售不低于5萬件，而該公司每年的年產量為6萬件，則該公司每年在國內銷售的件數x的范圍為：0≤x≤1則總利潤w=（80-2m）x+（71-m）（6-x）=（9-m）x+426-6m按照x值的范圍代入，結合最大利潤為393萬元，可分析求得．

解：（1）w=y1x+71（6-x）

=

=

∴w=

（2）由（1）知，當x=1時，9x+426的最大值為435；

當1＜x≤6時，-x2+10x+426的最大值為x=5時的值，即451，

451＞435

∴當該公司每年的國內銷售量為5萬件國外銷售量為1萬件時，可使公司每年的總利潤最大，最大值是451萬元．

（3）∵該公司計劃在國外銷售不低于5萬件，而該公司每年的年產量為6萬件

∴該公司每年在國內銷售的件數x的范圍為：0≤x≤1

則總利潤w=（80-2m）x+（71-m）（6-x）=（9-m）x+426-6m

顯然當10≥m≥9時，w的值小于393，

當5≤m＜9時，9-m＞0，當x=1時，令w=（9-m）×1+426-6m=393

解得m=6，當x=0時，令w=426-6m=393，解得m=5.5

經驗證，發現當5.5≤m≤6時符合題意，其他值都不符合．

∴m的值為5.5≤m≤6．