Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+mx+n與x軸正半軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點 C．

（1）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰長為3，求拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，點P為拋物線對稱軸上的一點，則PA+PC的最小值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）3．

【解析】

（1）先根據等腰直角三角形的腰長求出OB＝OC＝3，進而求出點B，C坐標，最后用待定系數法即可得出結論；

（2）先確定出拋物線的對稱軸，進而求出點C'的坐標，找出PA+PC的最小值為AC'，再求出點A坐標，即可得出結論．

（1）如圖1，連接BC，

∵△OBC是等腰直角三角形，∠BOC＝90°，

∴OB＝OC，

∵腰長為3，

∴OB＝OC＝3，

∴B（3，0），C（0，3），

將點B（3，0），C（0，3）代入拋物線解析式y＝x2+mx+n中，得，，

∴，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3；

（2）如圖2，由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線的對稱軸直線為x＝2，

∵點C（0，3），

∴點C關于拋物線的對稱軸x＝2的對稱點C'（4，3），

連接AC'交拋物線的對稱軸于P，此時，PA+PC的值最小，最小值為AC'，

針對于拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3，令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，

解得，x＝1或x＝3，

∴A（1，0），

∵C'（4，3），

∴AC'，

即：PA+PC的最小值為，

故答案為：．