Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A、C分別在y軸、x軸上，且∠ACB=90°，AC=BC．

（1）如圖1，當，點B在第四象限時，則點B的坐標為 ；

（2）如圖2，當點C在x軸正半軸上運動，點A在y軸正半軸上運動，點B在第四象限時，作BD⊥y軸于點D，試判斷與哪一個是定值，并說明定值是多少？請證明你的結論．（溫馨提示：本題定值就是某一個固定的常數值）

Answer 1

【答案】（1）B點坐標為：(，)；（2）是定值，且為1，證明見解析

【解析】

（1）作BD⊥軸，交軸于D點，通過證明△OAC△DCB再利用全等三角形性質進一步求解即可；

（2）作BE⊥軸于E，則四邊形ODBE為矩形，先證明出△CEB△AOC，然后利用全等三角形性質以及矩形性質進一步得出OC=AO+BD，據此進一步分析證明即可.

（1）如圖所示，作BD⊥軸，交軸于D點，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCA+∠DCB=90°，

∵∠OCA+∠OAC=90°，

∴∠DCB=∠OAC，

在△OAC與△DCB中，

∵∠AOC=∠CDB，∠DCB=∠OAC，AC=BC，

∴△OAC△DCB，

∵A點坐標為(0，)，C點坐標為(1，0)，

∴CD=OA=2，BD=OC=1，

∴OD=3，

∴B點坐標為：(，)，

故答案為：(，)；

（2）是定值，且為1，證明如下：

作BE⊥軸于E，則四邊形ODBE為矩形，

∵∠ACO+∠BCO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠BCO=∠CAO，

在△CEB和△AOC中，

∵，

∴△CEB△AOC，

∴EC=OA，

∵四邊形ODBE為矩形，

∴OE=BD，

∵OC=OE+EC，

∴OC=AO+BD，

∴OC－BD =AO，

∴

∴存在定值，且為1.