Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．射線BD為∠ABC的平分線，交AC于點D．動點P以每秒2個單位長度的速度從點B向終點C運動．作PE⊥BC交射線BD于點E．以PE為邊向右作正方形PEFG．正方形PEFG與△BDC重疊部分圖形的面積為S．

（1）求tan∠ABD的值．

（2）當點F落在AC邊上時，求t的值．

（3）當正方形PEFG與△BDC重疊部分圖形不是三角形時，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）tan∠ABD=；（2）；（3）①當時，；②當時，；③當時，.

【解析】

（1）過點D作DH⊥BC于點H，可得△ABD≌△HBD，所以CH=BC-AB=4.再由三角形相似即可求出DH=AD=3.根據三角函數定義即可解題.

（2）由（1）得BP=2PE，所以BP=2t，PE=PG=EF=FG=t，當點F落在AC邊上時，FG=CG，即可得到方程求出t.

（3）當正方形PEFG與△BDC重疊部分圖形不是三角形時，分三種情況分別求出S與t之間的函數關系式，①當時，F點在三角形內部或邊上，②當時，如圖：E點在三角形內部，F點在外部，此時重疊部分圖形的面積S=S正方形-S△FMN，③當時，重疊部分面積為梯形MPGN面積，

解：（1）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8

根據勾股定理得BC=10

過點D作DH⊥BC于點H

∵△ABD≌△HBD，

∴BH=AH=6，DH=AD，

∴CH=4，

∵△ABC∽△HDC，

∴,

∴，

∴DH=AD=3，

∴tan∠ABD==，

（2）由（1）可知BP=2PE，依題意得：BP=2t，PE=PG=EF=FG=t，CG=10-3t，

當點F落在AC邊上時，FG=CG，

即，

，

（3）①當時，F點在三角形內部或邊上，正方形PEFG在△BDC內部，

此時重疊部分圖形的面積為正方形面積：，

②當時，如圖：E點在三角形內部，F點在外部，

∵GC=10-3t，NG=CG=（10-3t），FN=t-（10-3t），FM= ,

此時重疊部分圖形的面積S=S正方形-S△FMN

,

③當時，重疊部分面積為梯形MPGN面積，如圖：

∵GC=10-3t，NG=CG=（10-3t），PC=10-2t，PM=,

∴，

綜上所述：當時，；當時，；當時，.