3.背景介紹:勾股定理是幾何學中的明珠,充滿著魅力.千百年來,人們對它的證明趨之若騖,其中有著名的數學家,也有業余數學愛好者.向常春在1994年構造發現了一個新的證法.
小試牛刀:把兩個全等的直角三角形如圖1放置,其三邊長分別為a、b、c.顯然,
∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE.請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積,再探究這三個圖形面積之間的關系,可得到勾股定理:

S
梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a(a+b),
S△ABC=$\frac{1}{2}$b(a-b),
S
四邊形AECD=$\frac{1}{2}$c
2,
則它們滿足的關系式為$\frac{1}{2}$a(a+b)=$\frac{1}{2}$b(a-b)+$\frac{1}{2}$c
2經化簡,可得到勾股定理.
知識運用:
(1)如圖2,鐵路上A、B兩點(看作直線上的兩點)相距40千米,C、D為兩個村莊(看作兩個點),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分別為A、B,AD=25千米,BC=16千米,則兩個村莊的距離為41千米(直接填空);
(2)在(1)的背景下,若AB=40千米,AD=24千米,BC=16千米,要在AB上建造一個供應站P,使得PC=PD,請用尺規作圖在圖2中作出P點的位置并求出AP的距離.
知識遷移:借助上面的思考過程與幾何模型,求代數式$\sqrt{{x}^{2}+9}$$+\sqrt{(16-x)^{2}+81}$的最小值(0<x<16)