Question

3．背景介紹：勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者．向常春在1994年構造發現了一個新的證法．
小試牛刀：把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a、b、c．顯然，
∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到勾股定理：

S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a（a+b），
S△ABC=$\frac{1}{2}$b（a-b），
S_{四邊形AECD}=$\frac{1}{2}$c²，
則它們滿足的關系式為$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²經化簡，可得到勾股定理．
知識運用：
（1）如圖2，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、D為兩個村莊（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為41千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個供應站P，使得PC=PD，請用尺規作圖在圖2中作出P點的位置并求出AP的距離．
知識遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數式$\sqrt{{x}^{2}+9}$$+\sqrt{（16-x）^{2}+81}$的最小值（0＜x＜16）

Answer 1

分析 【小試牛刀】根據三角形的面積和梯形的面積就可表示出．
【知識運用】（1）連接CD，作CE⊥AD于點E，根據AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，從而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD兩地之間的距離．
（2）連接CD，作CD的垂直平分線角AB于P，P即為所求；設AP=x千米，則BP=（40-x）千米，分別在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通過PC=PD建立方程，解方程即可．
【知識遷移】根據軸對稱-最短路線的求法即可求出．

解答 解：【小試牛刀】S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a（a+b），
S_△ABC=$\frac{1}{2}$b（a-b），
S_{四邊形AECD}=$\frac{1}{2}$c²，
則它們滿足的關系式為：$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²
故答案為：$\frac{1}{2}$a（a+b），$\frac{1}{2}$b（a-b），$\frac{1}{2}$c²，$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²．

【知識運用】（1）如圖2①，連接CD，作CE⊥AD于點E，

∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC=AE，CE=AB，
∴DE=AD-AE=25-16=9千米，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+4{0}^{2}}$=41（千米），
∴兩個村莊相距41千米．
故答案為：41．

（2）如圖2②所示：

設AP=x千米，則BP=（40-x）千米，
在Rt△ADP中，DP²=AP²+AD²=x²+24²，
在Rt△BPC中，CP²=BP²+BC²=（40-x）²+16²，
∵PC=PD，
∴x²+24²=（40-x）²+16²，
解得x=16，
即AP=16千米．
【知識遷移】：如圖3，

代數式$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（16-x）^{2}+81}$的最小值為：$\sqrt{（9+3）^{2}+1{6}^{2}}$=20．

點評 本題考查了用數形結合來證明勾股定理，勾股定理的應用，軸對稱-最短路線問題以及線段的垂直平分線等，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，本題鍛煉了同學們數形結合的思想方法．