Question

【題目】如圖，P是正三角形ABC內一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若將△PAC繞點A逆時針旋轉后得到△P'AB．給出下列四個結論：①PP'＝6，②AP2+BP2＝CP2，③∠APB＝150°；④S△ABC＝36+25．正確結論個數為（　�。�

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

由已知△PAC繞點A逆時針旋轉后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA＝P′A，旋轉角∠P′AP＝∠BAC＝60°，所以△APP′為等邊三角形，即可求得PP′，由勾股定理逆定理可求△PP'B是直角三角形，AP2+BP2＝CP2，可得∠P'PB＝90°，可得∠APB＝150°，過點A作AD垂直BP于點D，算出AD、PD，再用勾股定理算出AB，然后用公式直接求出面積．

解：連接PP′，過點A作AD⊥BP于點D，如圖，

由旋轉性質可知，△APC≌△AP'B，

∴AP＝AP'，P'B＝PC＝10，

∵∠P'AP＝60°，

∴△APP'是等邊三角形，

∴PP'＝AP＝6，故①正確；

∵PB＝8，

∴P'B2＝PB2+P'P2，

∴△PP'B是直角三角形，AP2+BP2＝CP2，故②正確

∴∠P'PB＝90°，

∵∠P'PA＝60°，

∴∠APB＝150°，故③正確；

∴∠APD＝30°，

∴AD＝AP＝3，PD＝3，

∴BD＝8+3，

在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2＝100+48，

∴S△ABC＝AB2＝36+25，故④正確．

故選：D．