Question

【題目】如圖，E是正方形ABCD中CD邊上一點，以點A為中心把△ADE順時針旋轉90°。

（1）在圖中畫出旋轉后的圖形；

（2）若旋轉后E點的對應點記為M，點F在BC上，且∠EAF=45°，連接EF。

①求證：△AMF≌△AEF；

②若正方形的邊長為6，AE＝，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②5.

【解析】

試題（1）在CB的延長線上截取BM=DE，則△ABM滿足條件；

（2）①由旋轉性質得AM=AE，∠MAE=90°，則∠MAF=∠EAF=45°，根據SAS判斷△AMF≌△AEF；

（3）由△AMF≌△AEF得EF=MF，再加上BM=DE，所以EF=BF+DE，由勾股定理計算出DE=3，則CE=3，設EF=x，則BF=x﹣3，CF=9﹣x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到 (9﹣x)2+32=x2，解出x即可．

試題解析：（1）解：如圖，△ABM為所作；

（2）①證明：∵ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，

∵△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABM，

∴AM=AE，∠MAE=90°，

又∵∠EAF=45°，

∴∠MAF=45°，

∴∠MAF=∠EAF，

在△AMF和△AEF中，，

∴△AMF≌△AEF；

②：∵△AMF≌△AEF，

∴EF=MF，即MF=BF+MB，而BM=DE，

∴EF=BF+DE，

在Rt△ADE中

，DE=，

∴CE=6﹣3=3，設EF=x，則BF=x﹣3，

∴CF=6﹣(x﹣3)=9﹣x，在Rt△CEF中，

∵CF2+CE2=EF2，

∴(9﹣x)2+32=x2，

解得x=5，解EF=5．