Question

10．已知實數a、b滿足$\sqrt{{a}^{2}-2a+1}$+$\sqrt{36-12a+{a}^{2}}$=10-|b+3|-|b-2|，求a²+b²的最大值．

Answer 1

分析 首先根據題意開平方，進而利用絕對值的性質化簡求出答案．

解答 解：∵$\sqrt{{a}^{2}-2a+1}$+$\sqrt{36-12a+{a}^{2}}$=10-|b+3|-|b-2|，
∴$\sqrt{（a-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-6）^{2}}$=10-|b+3|-|b-2|，
故原等式轉化為：
|a-1|+|a-6|+|b+3|+|b-2|=10，
因為|a-1|+|a-6|≥5，|b+3|+|b-2|≥5，
所以|a-1|+|a-6|=5且|b+3|+|b-2|=5，
1≤a≤6，-3≤b≤2，
所以當a=6，b=-3時，
a²+b²有最大值為：36+9=45．

點評 此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確利用絕對值的性質化簡是解題關鍵．