精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,頂點M關于x軸的對稱點是M′.

(1)求拋物線的解析式;
(2)若直線AM′與此拋物線的另一個交點為C,求△CAB的面積;
(3)是否存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形?若存在,求出此拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:將A、B點坐標代入函數解析式,得

解得 ,

拋物線的解析式y=x2﹣2x﹣3


(2)解:將拋物線的解析式化為頂點式,得

y=(x﹣1)2﹣4,

M點的坐標為(1,﹣4),

M′點的坐標為(1,4),

設AM′的解析式為y=kx+b,

將A、M′點的坐標代入,得

解得 ,

AM′的解析式為y=2x+2,

聯立AM′與拋物線,得

,

解得 ,

C點坐標為(5,12).

SABC= ×4×12=24


(3)解:存在過A,B兩點的拋物線,其頂點P關于x軸的對稱點為Q,使得四邊形APBQ為正方形,

由ABPQ是正方形,A(﹣1,0)B(3,0),得

P(1,﹣2),Q(1,2),或P(1,2),Q(1,﹣2),

①當頂點P(1,﹣2)時,設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2﹣2,

將A點坐標代入函數解析式,得

a(﹣1﹣1)2﹣2=0,

解得a=

拋物線的解析式為y= (x﹣1)2﹣2,

②當P(1,2)時,設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+2,將

A點坐標代入函數解析式,得

a(﹣1﹣1)2+2=0,

解得a=﹣ ,

拋物線的解析式為y=﹣ (x﹣1)2+2,

綜上所述:y= (x﹣1)2﹣2或y=﹣ (x﹣1)2+2,使得四邊形APBQ為正方形.


【解析】(1)根據待定系數法,將A、B點坐標代入函數解析式,即可求解。
(2)先求出頂點坐標,根據軸對稱的性質,可求得點M′的坐標,再求出直線AM′的解析式,再將兩函數解析式聯立,建立方程組,求解即可求出點C的坐標,然后求出△ABC的面積。
(3)根據正方形的性質,求得P、Q兩點的坐標,根據待定系數法,可得函數解析式。
【考點精析】掌握確定一次函數的表達式和正方形的性質是解答本題的根本,需要知道確定一個一次函數,需要確定一次函數定義式y=kx+b(k不等于0)中的常數k和b.解這類問題的一般方法是待定系數法;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數y=ax2﹣2ax﹣1(a是常數,a≠0),下列結論正確的是(
A.當a=1時,函數圖象過點(﹣1,1)
B.當a=﹣2時,函數圖象與x軸沒有交點
C.若a>0,則當x≥1時,y隨x的增大而減小
D.不論a為何值,函數圖象必經過(2,﹣1)

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】【發現】:如圖1,在正三角形ABC中,在AB,AC邊上分別取點M,N,BM=AN,連接BN,CM,相交于點O,求∠α
易得:△ABN≌△BCN,則∠1=∠2
∵∠α是△BOC的外角,∴∠α=∠2+∠3
∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=60°

【推廣】:在正n邊形中,對相鄰的兩邊實施同樣的操作…
(1)如圖2,在正四邊形ABCD中,在AB,AD邊上分別取點M,N,連接BN,CM,可確定∠α=°;

(2)如圖3,在正五邊形ABCDE中,在AB,AD邊上分別取點M,N,連接BN,CM,可確定∠α=°;

(3)判斷:∠α可以等于160°嗎?如果可以,求出對應的邊數n,若不可以,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,在6×6的正方形網格中,每個小正方形的邊長為1,點A、B、C、D、EF、MN、P均為格點(格點是指每個小正方形的頂點).

1)利用圖①中的網格,過P點畫直線MN的平行線和垂線.

2)把圖②網格中的三條線段AB、CDEF通過平移使之首尾順次相接組成一個三角形(在圖②中畫出三角形).

3)第(2)小題中線段AB、CDEF首尾順次相接組成一個三角形的面積是______

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】某網店3月份經營一種熱銷商品,每件成本20元,發現三周內售價在持續提升,銷售單價P(元/件)與時間t(天)之間的函數關系為P=30+ t(其中1≤t≤21,t為整數),且其日銷售量y(件)與時間t(天)的關系如下表

時間t(天)

1

5

9

13

17

21

日銷售量y(件)

118

110

102

94

86

78


(1)已知y與t之間的變化規律符合一次函數關系,請直接寫出y(件)與時間t(天)函數關系式;
(2)在這三周的銷售中,第幾天的銷售利潤最大?最大日銷售利潤為多少?
(3)在實際銷售的21天中,該網店每銷售一件商品就捐贈a元利潤(a<8)給“精準扶貧”的對象,通過銷售記錄發現,這21天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t(天)的增大而增大,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,等邊△ABC的邊長是2,D、E分別為ABAC的中點,延長BC至點F,使CF=BC,連接CDEF

1)求證:DE=CF

2)求EF的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,D,E,F分別是BC,AD,CE邊上的中點,且SABC=16 cm2,則SBEF_________

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,已知,A、O、B在同一條直線上,∠AOE=COD,∠EOD=30°

1)若∠AOE=88°30′,求∠BOC的度數;

2)若射線OC平分∠EOB,求∠BOC的度數.

查看答案和解析>>

科目:初中數學 來源: 題型:

【題目】Rt△ABC,∠ACB=90°,D,E是邊AB上兩點,CE所在直線垂直平分線段AD,CD平分∠BCE,AC=5cm,BD的長為(

A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
久久精品免费一区二区视