Question

【題目】【發現】：如圖1，在正三角形ABC中，在AB，AC邊上分別取點M，N，BM=AN，連接BN，CM，相交于點O，求∠α
易得：△ABN≌△BCN，則∠1=∠2
∵∠α是△BOC的外角，∴∠α=∠2+∠3
∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=60°

【推廣】：在正n邊形中，對相鄰的兩邊實施同樣的操作…
（1）如圖2，在正四邊形ABCD中，在AB，AD邊上分別取點M，N，連接BN，CM，可確定∠α=°；

（2）如圖3，在正五邊形ABCDE中，在AB，AD邊上分別取點M，N，連接BN，CM，可確定∠α=°；

（3）判斷：∠α可以等于160°嗎？如果可以，求出對應的邊數n，若不可以，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）90
（2）108
（3）解：∠α可以等于160°，

理由：由于上述操作發現的結論可知，正n邊形中的∠α=正n邊形的內角的度數，

假設存在正n邊形使得∠α=160°，則（n﹣2）180°=160°n，

解得：n=18，

∴存在正n邊形使得∠α=160°，

此時，該正n邊形為正十八邊形．

【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠CBM=90°，

在△ABN與△BCM中， ，

∴△ABN≌△BCM，

∴∠1=∠2，

∵∠α是△BOC的外角，

∴∠α=∠2+∠3

∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=90°；

所以答案是：90；（2）∵四邊形ABCD是正五邊形，

∴AB=BC，∠A=∠CBM=108°，

在△ABN與△BCM中， ，

∴△ABN≌△BCM，

∴∠1=∠2，

∵∠α是△BOC的外角，

∴∠α=∠2+∠3，

∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=108°；

所以答案是：108；